Calculer numériquement une probabilité du type P(k ≤ X ≤ k’ ) d'une loi binomiale Exercice

X est une variable aléatoire suivant la loi binomiale \mathcal{B}(10;0{,}2). 

C'est donc une variable aléatoire qui compte le nombre de succès d'une succession de 10 épreuves indépendantes suivant la loi de Bernoulli  \mathcal{B}(0{,}2).

Donc : 
P(2 \leqslant X \leqslant 4) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) 

Or, on sait calculer :
P(X=k)
P(X=k) = \dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

Ainsi :
P(X=2) = \dfrac{10!}{8!2!} \times 0{,}2^2 \times 0{,}8^8 \approx 0{,}30
P(X=3) = \dfrac{10!}{7!3!} \times 0{,}2^3 \times 0{,}8^7 \approx 0{,}20
P(X=4) = \dfrac{10!}{6!4!} \times 0{,}2^4 \times 0{,}8^6 \approx 0{,}09

X est une variable aléatoire suivant la loi binomiale \mathcal{B}(8;0{,}1). 

C'est donc une variable aléatoire qui compte le nombre de succès d'une succession de 8 épreuves indépendantes suivant la loi de Bernoulli  \mathcal{B}(0{,}1).

Donc : 
P(5 \leqslant X \leqslant 7) = P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) 

Or, on sait calculer P(X=k)  :
P(X=k) = \dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

Ainsi :
P(X=5) = \dfrac{8!}{3!5!} \times 0{,}1^5 \times 0{,}9^3 \approx 0{,}00
P(X=6) = \dfrac{8!}{2!6!} \times 0{,}1^6 \times 0{,}9^2 \approx 0{,}00
P(X=7) = \dfrac{8!}{1!7!} \times 0{,}1^7 \times 0{,}9^2 \approx 0{,}00

X est une variable aléatoire suivant la loi binomiale \mathcal{B}(8;0{,}2). 

C'est donc une variable aléatoire qui compte le nombre de succès d'une succession de 8 épreuves indépendantes suivant la loi de Bernoulli  \mathcal{B}(0{,}2).

Donc : 
P(2 \leqslant X \leqslant 3) = P(X = 2) + P(X = 3) 

Or, on sait calculer P(X=k)  :
P(X=k) = \dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

Ainsi :
P(X=2) = \dfrac{8!}{6!2!} \times 0{,}2^2 \times 0{,}8^6 \approx 0{,}29
P(X=3) = \dfrac{8!}{5!3!} \times 0{,}2^3 \times 0{,}8^5 \approx 0{,}15

X est une variable aléatoire suivant la loi binomiale \mathcal{B}(6;0{,}4). 

C'est donc une variable aléatoire qui compte le nombre de succès d'une succession de 8 épreuves indépendantes suivant la loi de Bernoulli  \mathcal{B}(0{,}4).

Donc : 
P(1 \leqslant X \leqslant 5) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)+ P(X = 4) + P(X = 5) = 1 - P(X = 0) - P(X = 6) 

Or, on sait calculer P(X=k)  :
P(X=k) = \dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

Ainsi :
P(X=0) = 1 \times 1 \times 0{,}6^6 \approx 0{,}046
P(X=6) = 1 \times 0{,}4^6 \times 1 \approx 0{,}004

X est une variable aléatoire suivant la loi binomiale \mathcal{B}(100;0{,}8). 

C'est donc une variable aléatoire qui compte le nombre de succès d'une succession de 100 épreuves indépendantes suivant la loi de Bernoulli  \mathcal{B}(0{,}8).

Donc : 
P(2 \leqslant X \leqslant 99) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) - P(X = 100)  

Or, on sait calculer P(X=k)  :
P(X=k) = \dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

Ainsi :
P(X=0) = 1 \times 1 \times 0{,}2^{100} \approx 0{,}000
P(X=1) = 100 \times 0{,}2^{99} \times 0{,}8 \approx 0{,}000
P(X=100) = 1 \times 1 \times 0{,}8^{100} \approx 0{,}000