Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale \mathcal{B}(10;0{,}2).
Quel est l'ensemble des valeurs I tel que \forall x \in I, \space P(X=x) \leqslant 0{,}10 ?
X est une variable aléatoire suivant la loi binomiale \mathcal{B}(10;0{,}2).
C'est donc une variable aléatoire qui compte le nombre de succès d'une succession de 10 épreuves indépendantes suivant la loi de Bernoulli \mathcal{B}(0{,}2).
On sait calculer P(X=k) :
P(X=k) = \dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
De plus, on sait que P(X=x) est représentée par une gaussienne.
Or :
P(X=0) = 1 \times 1 \times 0{,}8^10 \approx 0{,}11
P(X=1) = 10 \times 0{,}2 \times 0{,}8^9 \approx 0{,}27
P(X=2) = \dfrac{10!}{8!2!} \times 0{,}2^2 \times 0{,}8^8 \approx 0{,}30
P(X=3) = \dfrac{10!}{7!3!} \times 0{,}2^3 \times 0{,}8^7 \approx 0{,}20
P(X=4) = \dfrac{10!}{6!4!} \times 0{,}2^4 \times 0{,}8^6 \approx 0{,}09
Ensuite P(X) est décroissant.
Donc I = \{4;5;6;7;8;9;10\} .
Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale \mathcal{B}(8;0{,}1).
Quel est l'ensemble des valeurs I tel que \forall x \in I, \space P(X=x) \leqslant 0{,}30 ?
X est une variable aléatoire suivant la loi binomiale \mathcal{B}(8;0{,}1).
C'est donc une variable aléatoire qui compte le nombre de succès d'une succession de 8 épreuves indépendantes suivant la loi de Bernoulli \mathcal{B}(0{,}1).
De plus, on sait que P(X=x) est représentée par une gaussienne.
Or, on sait calculer P(X=k) :
P(X=k) = \dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
Ainsi :
P(X=0) = 1 \times 1 \times 0{,}9^8 \approx 0{,}43
P(X=1) = 8 \times 0{,}1 \times 0{,}9^7 \approx 0{,}38
P(X=2) = 28 \times 0{,}1^2 \times 0{,}9^6 \approx 0{,}15
Ensuite P(X) est décroissant.
Donc I = \{2;3;4;5;6;7;8\} .
Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale \mathcal{B}(20;0{,}5).
Quel est l'ensemble des valeurs I tel que \forall x \in I, \space P(X=x) \leqslant 0{,}20 ?
X est une variable aléatoire suivant la loi binomiale \mathcal{B}(20;0{,}5).
C'est donc une variable aléatoire qui compte le nombre de succès d'une succession de 20 épreuves indépendantes suivant la loi de Bernoulli \mathcal{B}(0{,}5).
De plus, on sait que P(X=x) est représentée par une gaussienne.
Or, on sait calculer P(X=k) :
P(X=k) = \dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
P(X=k) = \dbinom{n}{k} 0{,}5^20 = \dbinom{n}{k} \times 0{,}000000954
Ainsi :
P(X=10) = 184756 \times 0{,}000000954 \approx 0{,}17
P(X=9) = 167960 \times 0{,}000000954 \approx 0{,}16
P(X=11) = 167960 \times 0{,}000000954 \approx 0{,}16
Donc le maximum de la gaussienne est en P(X=10) \approx 0{,}17
Ensuite P(X) est décroissant.
Donc I = \{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15;16;17;18;19;20\} .
Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale \mathcal{B}(6;0{,}4)
Quel est l'ensemble des valeurs I tel que \forall x \in I, \space P(X=x) \leqslant 0{,}20 ?
X est une variable aléatoire suivant la loi binomiale \mathcal{B}(6;0{,}4).
C'est donc une variable aléatoire qui compte le nombre de succès d'une succession de 6 épreuves indépendantes suivant la loi de Bernoulli \mathcal{B}(0{,}4).
De plus, on sait que P(X=x) est représentée par une gaussienne.
Or, on sait calculer P(X=k) :
P(X=k) = \dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
Ainsi :
P(X=1) = 6 \times 0{,}4 \times 0{,}6^ 5 \approx 0{,}19
P(X=2) = 15 \times 0{,}4^2 \times 0{,}6^ 4 \approx 0{,}31
P(X=3) = 20 \times 0{,}4^3 \times 0{,}6^ 3 \approx 0{,}28
P(X=4) = 15 \times 0{,}4^4 \times 0{,}6^ 2 \approx 0{,}13
Donc le maximum de la gaussienne est en P(X=1) \approx 0{,}19.
Ensuite P(X) est décroissant.
Donc I = \{0;1;4;5;6\} .
Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale \mathcal{B}(100;0{,}8)
Quel est l'ensemble des valeurs I tel que \forall x \in I, \space P(X=x) \leqslant 0{,}09 ?
X est une variable aléatoire suivant la loi binomiale \mathcal{B}(100;0{,}8).
C'est donc une variable aléatoire qui compte le nombre de succès d'une succession de 100 épreuves indépendantes suivant la loi de Bernoulli \mathcal{B}(0{,}8).
De plus, on sait que P(X=x) est représentée par une gaussienne.
Or, on sait calculer P(X=k) :
P(X=k) = \dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
Ainsi :
P(X=80) \approx 0{,}099
P(X=79) \approx 0{,}095
P(X=81) \approx 0{,}098
P(X=82) \approx 0{,}091
Donc le maximum de la gaussienne est en P(X=80) \approx 0{,}099.
Ensuite P(X) est décroissant.
Donc I = \{1 ; ... ; 78 ; 83 ; ... ; 100\} .