Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale \mathcal{B}(10;0{,}2).
Quelle est la probabilité P(X \leqslant 2) ?
X est une variable aléatoire suivant la loi binomiale \mathcal{B}(10;0{,}2).
C'est donc une variable aléatoire qui compte le nombre de succès d'une succession de 10 épreuves indépendantes suivant la loi de Bernoulli \mathcal{B}(0{,}2).
Donc :
P(X \leqslant 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
Or, on sait calculer P(X=k) :
P(X=k) = \dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
Ainsi :
P(X=0) = 1 \times 1 \times 0{,}8^10 \approx 0{,}11
P(X=1) = 10 \times 0{,}2 \times 0{,}8^9 \approx 0{,}27
P(X=2) = \dfrac{10!}{8!2!} \times 0{,}2^2 \times 0{,}8^8 \approx 0{,}30
Donc : P(X \leqslant 2) \approx 0{,}68 .
Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale \mathcal{B}(5;0{,}6).
Quelle est la probabilité P(X \leqslant 3) ?
X est une variable aléatoire suivant la loi binomiale \mathcal{B}(5;0{,}6).
C'est donc une variable aléatoire qui compte le nombre de succès d'une succession de 5 épreuves indépendante suivant la loi de Bernoulli \mathcal{B}(0{,}6).
Donc :
P(X \leqslant 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)+ P(X = 3)
Or on sait calculer P(X=k)
P(X=k) = \dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
Ainsi :
P(X=0) = 1 \times 1 \times 0{,}4^5 \approx 0{,}01
P(X=1) = 5 \times 0{,}6 \times 0{,}4^4 \approx 0{,}08
P(X=2) = \dfrac{5!}{3!2!} \times 0{,}6^2 \times 0{,}4^3 \approx 0{,}23
P(X=3) = \dfrac{5!}{3!2!} \times 0{,}6^3 \times 0{,}4^2 \approx 0{,}35
Donc : P(X \leqslant 3) \approx 0{,}67 .
Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale \mathcal{B}(9;0{,}1).
Quelle est la probabilité P(X \leqslant 1) ?
X est une variable aléatoire suivant la loi binomiale \mathcal{B}(9;0{,}1).
C'est donc une variable aléatoire qui compte le nombre de succès d'une succession de 9 épreuves indépendantes suivant la loi de Bernoulli \mathcal{B}(0{,}1).
Donc :
P(X \leqslant 1) = P(X = 0) + P(X = 1)
Or, on sait calculer P(X=k) :
P(X=k) = \dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
Ainsi :
P(X=0) = 1 \times 1 \times 0{,}9^9 \approx 0{,}39
P(X=1) = 9 \times 0{,}1 \times 0{,}9^8 \approx 0{,}39
Donc : P(X \leqslant 1) \approx 0{,}78 .
Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale \mathcal{B}(10;0{,}3).
Quelle est la probabilité P(X \leqslant 9) ?
X est une variable aléatoire suivant la loi binomiale \mathcal{B}(10;0{,}3).
C'est donc une variable aléatoire qui compte le nombre de succès d'une succession de 10 épreuves indépendantes suivant la loi de Bernoulli \mathcal{B}(0{,}3).
Pour gagner en efficacité, on peut calculer la probabilité de l'événement contraire :
(\overline{X \leqslant 9}) = ( X \gt 9) = (X= 10)
Donc :
P(X \leqslant 9) = 1 - P(X=10) \)
Or, on sait calculer P(X=k) :
P(X=k) = \dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
Ainsi :
P(X=10) = 1 \times 0{,}3^{10} \times 1 \approx 0
Donc : P(X \leqslant 9) \approx 1 .
Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale \mathcal{B}(120;0{,}8).
Quelle est la probabilité P(X \leqslant 118) ?
X est une variable aléatoire suivant la loi binomiale \mathcal{B}(120;0{,}8).
C'est donc une variable aléatoire qui compte le nombre de succès d'une succession de 120 épreuves indépendantes suivant la loi de Bernoulli \mathcal{B}(0{,}8).
Pour gagner en efficacité, on peut calculer la probabilité de l'événement contraire :
(\overline{X \leqslant 118}) = ( X \gt 118) = (X= 119) \cup (X= 120)
Donc :
P(X \leqslant 118) = 1 - P(X=119) - P(X=120) \)
Or, on sait calculer P(X=k) :
P(X=k) = \dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
Ainsi :
P(X=119) = 119 \times 0{,}8^{119} \times 0{,}2 \approx 0
P(X=120) = 1 \times 0{,}8^{120} \times 1 \approx 0
Donc : P(X \leqslant 118) \approx 1 .