On lance 15 fois une pièce de monnaie équilibrée, et on note le nombre de fois où la pièce tombe sur « pile ».
Quelle est la probabilité d'obtenir 3 succès ?
Cette situation est un schéma de Bernoulli car on répète 15 fois la même épreuve de Bernoulli.
À chaque épreuve, on note le succès qui arrive avec une probabilité p= 0{,}5 , indépendante des autres épreuves.
La variable aléatoire X qui associe à la réalisation d'un schéma de Bernoulli le nombre de succès en 15 tentatives suit une loi binomiale de paramètres n = 15 et p = 0{,}5 .
Or, la loi binomiale de paramètres n = 15 et p = 0{,}5 s'écrit :
P(X = k) = \begin{pmatrix} 15 \cr\cr k \end{pmatrix} \times \left( 0{,}5 \right)^{k} \times (1 - 0{,}5)^{10-k}
Ainsi, pour k = 3 , on a :
P(X = 3) = \begin{pmatrix} 15 \cr\cr 3 \end{pmatrix} \times \left( 0{,}5 \right)^{3} \times (1 - 0{,}5)^{10-3}
Ainsi, P(X = 3) = 0{,}014 .
On lance 11 fois une pièce de monnaie non équilibrée, et on note le nombre de fois où la pièce tombe sur « pile ».
La probabilité qu'elle tombe sur pile est p = \dfrac{1}{3} .
Quelle est la probabilité d'obtenir 6 succès ?
Cette situation est un schéma de Bernoulli car on répète 11 fois la même épreuve de Bernoulli.
À chaque épreuve, on note le succès qui arrive avec une probabilité p=\dfrac{1}{3} \approx0{,}333, indépendante des autres épreuves.
La variable aléatoire X qui associe à la réalisation d'un schéma de Bernoulli le nombre de succès en 11 tentatives suit une loi binomiale de paramètres n = 11 et p = 0{,}333 .
Or, la loi binomiale de paramètres n = 11 et p = 0{,}333 s'écrit :
P(X = k) = \begin{pmatrix} 11 \cr\cr k \end{pmatrix} \times \left( 0{,}333 \right)^{k} \times (1 - 0{,}333)^{10-k}
Ainsi, pour k = 6 , on a :
P(X = 6) = \begin{pmatrix} 11 \cr\cr 6 \end{pmatrix} \times \left( 0{,}333 \right)^{6} \times (1 - 0{,}333)^{10-6}
Ainsi, P(X = 6) = 0{,}083 .
On lance 8 fois un dé équilibré, et on note le nombre de fois où le dé tombe sur un 6.
Quelle est la probabilité d'obtenir 4 succès ?
Cette situation est un schéma de Bernoulli car on répète 8 fois la même épreuve de Bernoulli.
À chaque épreuve, on note le succès qui arrive avec une probabilité p = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}167, indépendante des autres épreuves.
La variable aléatoire X qui associe à la réalisation d'un schéma de Bernoulli le nombre de succès en 8 tentatives suit une loi binomiale de paramètres n = 8 et p = 0{,}167 .
Or, la loi binomiale de paramètres n = 8 et p = 0{,}167 s'écrit :
P(X = k) = \begin{pmatrix} 8 \cr\cr k \end{pmatrix} \times \left( 0{,}167 \right)^{k} \times (1 - 0{,}167)^{10-k}
Ainsi, pour k = 4 , on a :
P(X = 4) = \begin{pmatrix} 8 \cr\cr 4 \end{pmatrix} \times \left( 0{,}167 \right)^{4} \times (1 - 0{,}167)^{10-4}
Ainsi, P(X = 4) = 0{,}026 .
On lance 12 fois un dé équilibré, et on note le nombre de fois où le numéro de la face est pair.
Quelle est la probabilité d'obtenir 6 succès ?
Cette situation est un schéma de Bernoulli car on répète 12 fois la même épreuve de Bernoulli.
À chaque épreuve, on note le succès qui arrive avec une probabilité p= 0{,}5 , indépendante des autres épreuves.
La variable aléatoire X qui associe à la réalisation d'un schéma de Bernoulli le nombre de succès en 12 tentatives suit une loi binomiale de paramètres n = 12 et p = 0{,}5 .
Or, la loi binomiale de paramètres n = 12 et p = 0{,}5 s'écrit :
P(X = k) = \begin{pmatrix} 12 \cr\cr k \end{pmatrix} \times \left( 0{,}5 \right)^{k} \times (1 - 0{,}5)^{10-k}
Ainsi, pour k = 6 , on a :
P(X = 6) = \begin{pmatrix} 12 \cr\cr 6 \end{pmatrix} \times \left( 0{,}5 \right)^{6} \times (1 - 0{,}5)^{10-6}
Ainsi, P(X = 6) = 0{,}226 .
On tire une carte 20 fois d'un jeu de 32 cartes, avec remise, et on note le nombre de fois où la carte est un « as ».
Quelle est la probabilité d'obtenir 4 succès ?
Cette situation est un schéma de Bernoulli car on répète 20 fois la même épreuve de Bernoulli.
À chaque épreuve, on note le succès qui arrive avec une probabilité p= 0{,}125 , indépendante des autres épreuves.
La variable aléatoire X qui associe à la réalisation d'un schéma de Bernoulli le nombre de succès en 20 tentatives suit une loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 0{,}125 .
Or, la loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 0{,}125 s'écrit :
P(X = k) = \begin{pmatrix} 20 \cr\cr k \end{pmatrix} \times \left( 0{,}125 \right)^{k} \times (1 - 0{,}125)^{20-k}
Ainsi, pour k = 4 , on a :
P(X = 4) = \begin{pmatrix} 20 \cr\cr 4 \end{pmatrix} \times \left( 0{,}125 \right)^{4} \times (1 - 0{,}125)^{20-4}
Ainsi, P(X = 4) = 0{,}14 .