Une urne contient 10 boules blanches et 10 boules bleues.
On tire successivement et sans remise deux boules dans l'urne.
Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de boules blanches tirées au terme du jeu.
Quelle est la loi de X ?
Attention : ici, les deux épreuves ne sont pas indépendantes car on ne remet pas la boule tirée dans l'urne. Le premier tirage influe donc sur le second.
On note B l'issue « boule bleue » et L l'issue « boule blanche ».
X peut prendre trois valeurs :
- X = 0 obtenue avec le seul couple (B, B).
La probabilité de tirer une bleue au premier tirage est \dfrac{1}{2}.
Au second tirage, il y a une boule bleue en moins, donc la probabilité de tirer une bleue est \dfrac{9}{19}.
La probabilité de l'événement X=0 est donc : \dfrac{1}{2} \times \dfrac{9}{19} = \dfrac{9}{38}.
- X= 1 obtenue avec deux couples : (B,L) et (L, B).
La probabilité d'obtenir le premier couple est \dfrac{1}{2} \times \dfrac{10}{19} = \dfrac{5}{19}.
La probabilité d'obtenir le deuxième couple est \dfrac{1}{2} \times \dfrac{10}{19} = \dfrac{5}{19}.
La probabilité de l'événement X=1 est donc \dfrac{5}{19} + \dfrac{5}{19} = \dfrac{10}{19}.
- X= 2 obtenue avec le seul couple (L,L).
La probabilité de l'événement X=1 est \dfrac{1}{2} \times \dfrac{9}{19} = \dfrac{9}{38}.
X suit donc la loi suivante :
Une urne contient 10 boules blanches et 10 boules bleues.
On tire successivement et sans remise trois boules dans l'urne.
Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de boules bleues tirées au terme du jeu.
Quelle est la loi de X ?
Attention : ici, les trois épreuves ne sont pas indépendantes car on ne remet pas la boule tirée dans l'urne.
On note B l'issue « boule bleue » et L l'issue « boule blanche ».
X peut prendre quatre valeurs :
- X = 0 obtenue avec le seul triplet (L, L, L).
La probabilité de tirer une blanche au premier tirage est \dfrac{1}{2}.
Au second tirage, il y a une boule blanche en moins, donc la probabilité de tirer une blanche est \dfrac{9}{19}.
Au troisième tirage, il y a encore une boule blanche en moins, donc la probabilité de tirer une blanche est \dfrac{8}{18} = \dfrac{4}{9}.
La probabilité de l'événement X=0 est donc : \dfrac{1}{2} \times \dfrac{9}{19} \times \dfrac{4}{9} = \dfrac{2}{19}.
- X= 1 obtenue avec trois triplets : (B,L,L), (L, B, L) et (L, L, B).
La probabilité d'obtenir le premier triplet est \dfrac{1}{2} \times \dfrac{10}{19} \times \dfrac{9}{18} = \dfrac{5}{38}.
La probabilité d'obtenir le deuxième triplet est \dfrac{1}{2} \times \dfrac{10}{19} \times \dfrac{9}{18} = \dfrac{5}{38}.
La probabilité d'obtenir le troisième triplet est \dfrac{1}{2} \times \dfrac{9}{19} \times \dfrac{10}{18} = \dfrac{5}{38}.
La probabilité de l'événement X=1 est donc 3\times \dfrac{5}{38} = \dfrac{15}{38}.
- X= 2 obtenue avec trois triplets (B,B,L), (B,L,B) et (L,B,B).
La probabilité du premier triplet est \dfrac{1}{2} \times \dfrac{9}{19} \times \dfrac{10}{18} = \dfrac{5}{38}.
La probabilité du deuxième triplet est \dfrac{1}{2} \times \dfrac{10}{19} \times \dfrac{9}{18} = \dfrac{5}{38}.
La probabilité du troisième triplet est \dfrac{1}{2} \times \dfrac{10}{19} \times \dfrac{9}{18} = \dfrac{5}{38}.
La probabilité de l'événement X=2 est donc 3\times \dfrac{5}{38} = \dfrac{15}{38}.
- X = 3 obtenue avec le seul triplet (B, B, B).
La probabilité de l'événement X=3 est \dfrac{1}{2} \times \dfrac{9}{19} \times \dfrac{8}{18} = \dfrac{2}{19}.
X suit donc la loi suivante :
On lance une pièce équilibrée. Si le résultat est pile, on gagne 1 euro. Si le résultat est face, on ne gagne rien.
Puis, on lance un dé équilibré. Si le résultat est 1 ou 2, on gagne 2 euros. Si le résultat est 3, 4, 5 ou 6, on ne gagne rien.
Soit X la variable aléatoire comptant le gain obtenu à la fin du jeu.
Quelle est la loi de X ?
X peut prendre quatre valeurs :
- X = 0 : il faut obtenir face au lancer de pièce, et obtenir 3, 4, 5 ou 6 au lancer de dé. La probabilité de cet événement est \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}.
- X= 1 : il faut obtenir pile au lancer de pièce, et obtenir 3, 4, 5 ou 6 au lancer de dé. La probabilité de cet événement est \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}.
- X= 2 : il faut obtenir face au lancer de pièce, et obtenir 1 ou 2 au lancer de dé. La probabilité de cet événement est \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}.
- X = 3 : il faut obtenir pile au lancer de pièce, et obtenir 1 ou 2 au lancer de dé. La probabilité de cet événement est \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}.
X suit donc la loi suivante :
Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules noires.
On tire une boule dans l'urne. Si elle est rouge, on gagne 3 euros. Sinon, on ne gagne rien.
Puis on lance un dé. Si le résultat est pair, on gagne 1 euro, s'il est impair, on ne gagne rien.
Soit X la variable aléatoire comptant le gain obtenu à la fin du jeu.
Quelle est la loi de X ?
X peut prendre quatre valeurs :
- X = 0 : il faut obtenir une boule noire au tirage dans l'urne, et obtenir un chiffre impair au lancer de dé. La probabilité de cet événement est \dfrac{3}{5} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{10}.
- X= 1 : il faut obtenir une boule noire au tirage dans l'urne, et obtenir un chiffre pair au lancer de dé. La probabilité de cet événement est \dfrac{3}{5} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{10}.
- X= 3 : il faut obtenir une boule rouge au tirage dans l'urne, et obtenir un chiffre impair au lancer de dé. La probabilité de cet événement est \dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{5}.
- X = 4 : il faut obtenir une boule rouge au tirage dans l'urne, et obtenir un chiffre pair au lancer de dé. La probabilité de cet événement est \dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{5}.
X suit donc la loi suivante :
Une puce se déplace sur un quadrillage.
Elle peut se déplacer à gauche avec une probabilité de \dfrac{2}{5}, à droite avec une probabilité de \dfrac{1}{10}, et en haut avec une possibilité de \dfrac{1}{2}.
Si elle se déplace à gauche, on gagne trois euros, si elle se déplace à droite, on gagne neuf euros, si elle se déplace en haut, on ne gagne rien.
Soit X la loi comptant le gain final.
La puce se déplace à deux reprises successives.
Quelle est la loi de X ?
X peut prendre six valeurs :
- X = 0 : la puce doit se déplacer deux fois vers le haut. La probabilité de cet événement est \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}.
- X = 3 : la puce doit se déplacer une fois vers la gauche et une fois vers le haut OU une fois vers le haut et une fois vers la gauche. La probabilité de cet événement est : \dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{2}{5}.
- X= 6 : la puce doit se déplacer deux fois vers la gauche. La probabilité de cet événement est \dfrac{2}{5} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{25}.
- X= 9 : La puce doit se déplacer une fois vers la droite et une fois vers le haut OU une fois vers le haut et une fois vers la droite. La probabilité de cet événement est \dfrac{1}{10} \times \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{10}.
- X = 12 : La puce doit se déplacer une fois vers la gauche et une fois vers la droite OU une fois vers la droite et une fois vers la gauche. La probabilité de cet événement est \dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{10} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{2}{25}.
- X = 18 : la puce doit se déplacer deux fois vers la droite. La probabilité de cet événement est \dfrac{1}{10} \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{100}.
X suit donc la loi suivante :
