Un forain propose deux jeux aléatoires :
- Lancer une pièce de monnaie 10 fois, et compter le nombre de piles obtenus.
- Tirer une carte dans un jeu de 32 cartes 25 fois, et compter le nombre de cartes rouges obtenus.
Quel jeu a le plus de succès probables ?
Soit n un entier et p \in [0;1] .
Quelle est l'expression de \mathbb{P}(X = k) si X est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale \mathcal{B}(n;p) et k un entier ?
La loi binomiale modélise la fréquence du nombre de succès obtenus lors de la répétition de plusieurs expériences aléatoires identiques et indépendantes.
La probabilité de k succès dans une répétition de n expériences est donc :
\mathbb{P}(X = k)= {n \choose k} \, p^k (1-p)^{n-k}
On lance une pièce équilibrée 10 fois.
Quelle est la probabilité d'obtenir 3 fois pile ?
\mathbb{P}(X = 3)= {10 \choose 3} \, (0{,}5)^3 (1-0{,}5)^{7}
Donc \mathbb{P}(X = 3)= 0{,}117 .
On tire une carte dans un jeu de 32 cartes 10 fois.
Quelle est la probabilité d'obtenir 3 fois un as ?
Dans un jeu de 32 cartes, on a 4 as. La probabilité de tirer un as est donc :
p = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}
Ainsi :
\mathbb{P}(X = 3)= {10 \choose 3} \, \left(\dfrac{1}{8}\right)^3 \left(1-\dfrac{1}{8}\right)^{10-3}
\mathbb{P}(X = 3)= {10 \choose 3} \, \left(\dfrac{1}{8}\right)^3 \left(\dfrac{7}{8}\right)^{7}
Donc \mathbb{P}(X = 3) = 0{,}092 .
A-t-on plus de chance d'obtenir 3 piles lorsqu'on lance une pièce 10 fois ou 3 as lorsqu'on tire une carte 10 fois ?
La probabilité de tirer un as 3 fois dans un jeu de 32 cartes en faisant 10 tirages est :
\mathbb{P}(X = 3) = 0{,}092
La probabilité de lancer un pile 3 fois faisant 10 tirages est :
\mathbb{P}(X = 3) = 0{,}117
On a donc plus de chance d'obtenir 3 piles lorsqu'on lance une pièce 10 fois que 3 as lorsqu'on tire une carte 10 fois.