Déterminer un intervalle sur lequel P(X) est supérieure à une valeur donnée pour une loi binomiale Exercice

Cette situation est un schéma de Bernoulli car on répète 15 fois la même épreuve de Bernoulli.
À chaque épreuve, on note le succès qui arrive avec une probabilité p= 0{,}5 , indépendante des autres épreuves.

La variable aléatoire X qui associe à la réalisation d'un schéma de Bernoulli le nombre de succès en 15 tentatives suit une loi binomiale de paramètres n = 15 et p = 0{,}5 .

Or, la loi binomiale de paramètres n = 15 et p = 0{,}5 s'écrit :
P(X = k) = \begin{pmatrix} 15 \cr\cr k \end{pmatrix} \times \left( 0{,}5 \right)^{k} \times (1 - 0{,}5)^{15-k}

Or :
P(X = 5) =  0{,}092 
et
P(X = 6) =  0{,}153 

Donc l'intervalle commence à k = 6 .

P(X = 9) =  0{,}153
P(X = 10) =  0{,}09

Donc l'intervalle finit à k = 9 .

Cette situation est un schéma de Bernoulli car on répète 11 fois la même épreuve de Bernoulli.

À chaque épreuve, on note le succès qui arrive avec une probabilité p= 0{,}333 , indépendante des autres épreuves.

La variable aléatoire X qui associe à la réalisation d'un schéma de Bernoulli le nombre de succès en 11 tentatives suit une loi binomiale de paramètres n = 11 et p = 0{,}333 .

Or, la loi binomiale de paramètres n = 11 et p = 0{,}333 s'écrit :
P(X = k) = \begin{pmatrix} 11 \cr\cr k \end{pmatrix} \times \left( 0{,}333 \right)^{k} \times (1 - 0{,}333)^{11-k}

Or :
P(X = 2) =  0{,}15
et
P(X = 3) =  0{,}24

Donc l'intervalle commence à k = 3 .

P(X = 4) =  0{,}24
P(X = 5) =  0{,}17

Donc l'intervalle finit à k = 4 .

Cette situation est un schéma de Bernoulli car on répète 8 fois la même épreuve de Bernoulli.
À chaque épreuve, on note le succès qui arrive avec une probabilité p= 0{,}167 , indépendante des autres épreuves.

La variable aléatoire X qui associe à la réalisation d'un schéma de Bernoulli le nombre de succès en 8 tentatives suit une loi binomiale de paramètres n = 8 et p = 0{,}167 .

Or, la loi binomiale de paramètres n = 8 et p = 0{,}167 s'écrit :
P(X = k) = \begin{pmatrix} 8 \cr\cr k \end{pmatrix} \times \left( 0{,}167 \right)^{k} \times (1 - 0{,}167)^{8-k}

Or :
P(X = 0) =  0{,}232 

Donc l'intervalle commence à k = 0.

P(X = 3) =  0{,}10
P(X = 4) =  0{,}02

Donc l'intervalle finit à k = 3 .

Cette situation est un schéma de Bernoulli car on répète 12 fois la même épreuve de Bernoulli.
À chaque épreuve, on note le succès qui arrive avec une probabilité p= 0{,}5 , indépendante des autres épreuves.

La variable aléatoire X qui associe à la réalisation d'un schéma de Bernoulli le nombre de succès en 12 tentatives suit une loi binomiale de paramètres n = 12 et p = 0{,}5 .

Or, la loi binomiale de paramètres n = 12 et p = 0{,}5 s'écrit :
P(X = k) = \begin{pmatrix} 12 \cr\cr k \end{pmatrix} \times \left( 0{,}5 \right)^{k} \times (1 - 0{,}5)^{12-k}

Or :
P(X = 3) =  0{,}053
et
P(X = 4) =  0{,}121 

Donc l'intervalle commence à k = 4 .

P(X = 8) =  0{,}12
P(X = 9) =  0{,}05

Donc l'intervalle finit à k = 8 .

Cette situation est un schéma de Bernoulli car on répète 20 fois la même épreuve de Bernoulli.
À chaque épreuve, on note le succès qui arrive avec une probabilité p= 0{,}125 , indépendante des autres épreuves.

La variable aléatoire X qui associe à la réalisation d'un schéma de Bernoulli le nombre de succès en 20 tentatives suit une loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 0{,}125 .

Or, la loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 0{,}125 s'écrit :
P(X = k) = \begin{pmatrix} 20 \cr\cr k \end{pmatrix} \times \left( 0{,}125 \right)^{k} \times (1 - 0{,}125)^{20-k}