Un schéma de Bernoulli est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. On note p leur probabilité de succès.
Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de succès. On cherche à calculer P(X=k) , avec k \in [0;n] le nombre de succès.
Quelle loi suit la variable X ?
( X \) est la variable aléatoire représentant le nombre de succès au cours d'une répétition d'épreuves de Bernoulli.
Ainsi, la loi de probabilité de X est appelée loi binomiale de paramètres n et p .
De combien de succès et d'échecs l'événement X = k est-il composé ?
L'événement X = k représente l'ensemble des issues du schéma de Bernoulli où il s'est produit k succès. Par suite, il s'est également produit n-k échecs.
On déduit que cet événement est composé de k succès et n-k échecs.
Quelle est la probabilité d'un événement qui contient k succès et n-k échecs ?
On peut raisonner avec un arbre de probabilité où chaque branche représente un succès de probabilité p ou un échec de probabilité 1 -p .
Pour arriver à k succès, on multiplie les k branches des succès entre elles :
p \times p \times \cdots \times p = p^k
On fait de même pour les n-k échecs :
(1-p) \times (1-p) \times \cdots \times (1-p) = (1-p)^{n-k}
On multiplie les probabilités des k succès et des n-k échecs.
Ainsi, la probabilité d'obtenir une issue de k succès et n-k échecs est p^k (1-p)^{n-k} .
Combien existe-t-il de possibilités avec k succès et n-k échecs ?
Si l'on représente les issues par une liste de nombres entre 1 et n , il s'agit de choisir les k éléments qui seront un succès entre 1 et n .
Il s'agit donc du nombre de combinaisons de k éléments dans un ensemble de n éléments, c'est-à-dire le coefficient binomial \begin{pmatrix} n \cr\cr k \end{pmatrix} .
Que vaut P(X=k) ?
La probabilité P(X=k) est le nombre d'événements qui contiennent k succès multiplié par la probabilité de chacun de ces événements.
Le nombre d'événements est \begin{pmatrix} n \cr\cr k \end{pmatrix} et la probabilité de chaque événement est p^k (1-p)^{n-k} .
Ainsi, P(X=k) = \begin{pmatrix} n \cr\cr k \end{pmatrix} p^k (1-p)^{n-k} .