Une entreprise produit des stylos en très grande quantité.
La probabilité qu'un stylo présente un défaut est égale à 0,1.
On prélève dans un premier temps 8 stylos.
On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de stylos défectueux parmi les 8 tirés.
Quelle est la loi de X ?
X compte le nombre de succès lors d'expériences successives « tirer un stylo parmi la production ».
Comme la production est en très grande quantité, on peut supposer que les tirages sont indépendants.
Ainsi, X compte le nombre de succès au cours de 8 épreuves de Bernoulli indépendantes et similaires avec une probabilité de succès p=\text{0{,}1}.
X suit donc une loi binomiale de paramètre n=8, p=\text{0{,}1}.
Quelle est la probabilité de l'événement A : « Il y a au moins un stylo avec un défaut » ?
L'événement complémentaire \bar{A} est : « Il n'y a aucun stylo avec un défaut ». Cet événement est l'événement X=0.
Comme X suit une loi binomiale, on peut calculer cette probabilité.
Pour rappel :
P(X=k)=\begin{pmatrix} n \cr k \end{pmatrix} p^k(1-p)^{n-k}
Donc :
P(X=0)=\begin{pmatrix} 8 \cr 0 \end{pmatrix} \text{0{,}1}^0(\text{0{,}9})^{8-0} = \text{0{,}43}
Finalement :
P(A)=1-P(\bar{A})=1-P(X=0) = 1-\text{0{,}43}=\text{0{,}57}
La probabilité de l'événement A est donc de 57 %.
En vue d'améliorer la qualité du produit, on décide de mettre en place un contrôle qui accepte tous les stylos sans défaut et 20 % des stylos avec défaut.
On prend au hasard un stylo dans la production. On note D l'événement « Le stylo présente un défaut » et E l'événement « Le stylo est accepté ».
Quelle est la probabilité qu'un stylo soit accepté au contrôle ?
Deux cas de figure peuvent se produire :
- Le stylo présente un défaut, auquel cas il n'aura que 20 % de chance d'être accepté.
- Le stylo ne présente pas de défaut : il est accepté.
Dans cette situation, où la probabilité d'un événement est conditionnée par la réalisation préalable d'un autre événement, on peut utiliser la formule des probabilités totales.
Pour cela, on utilise la partition de l'univers (D,\bar{D}).
D'après la formule des probabilités totales :
P(E) = P(E\cap D) +P(E\cap\bar{D}) = P(D)\times P_D(E)+P(\bar{D})\times P_{\bar{D}}(E) = \text{0{,}1} \times \text{0{,}2} + \text{0{,}9} \times 1 = \text{0{,}92}
La probabilité qu'un stylo soit accepté est donc de 0,92.
Quelle est la probabilité qu'un stylo ait un défaut alors qu'il a été accepté au contrôle ?
En reprenant les événements donnés à la question précédente, la probabilité demandée est P_E(D).
Or, l'information disponible est dans l'autre sens (à savoir, la probabilité qu'un stylo ayant un défaut passe le contrôle).
On peut donc calculer :
P_E(D)=\dfrac{P(E \cap D)}{P(E) } = \dfrac{P(D)\times P_D(E)}{P(E)} = \dfrac{\text{0{,}1}\times \text{0{,}2}}{\text{0{,}92}}\approx \text{0{,}022}.
La probabilité qu'un stylo ait un défaut alors qu'il a été accepté au contrôle est donc de 0,022.