Calculer une probabilité avec un arbre pondéré en utilisant la règle de la somme des probabilités inscrites sur les branches issues d'un même nœud Exercice

D'après la règle de la somme des probabilités d'un arbre pondéré, la probabilité d'un événement H est la somme des probabilités des chemins aboutissant à H : P(\bar{H})=P(C\cap \bar{H})+P(S\cap \bar{H})+P(E\cap \bar{H}).

D'après l'arbre pondéré, on a :

• P(C)=0{,}30
• P(S)=0{,}50
• P(E)=0{,}20
• P_C(\bar{H})=0{,}54
• P_S(\bar{H})=0{,}20
• P_E(\bar{H})=0{,}75

 

D'après la définition des probabilités conditionnelles, on a :

• P_C(\bar{H})=\dfrac{P(C\cap \bar{H})}{P(C)}
• P_S(\bar{H})=\dfrac{P(S\cap \bar{H})}{P(S)}
• P_E(\bar{H})=\dfrac{P(E\cap \bar{H})}{P(E)}

 

Ainsi, on a :

• P(C\cap \bar{H})=P_C(\bar{H})\times P(C)=0{,}54\times 0{,}30=0{,}162
• P(S\cap \bar{H})=P_S(\bar{H})\times P(S)=0{,}20\times 0{,}50=0{,}1
• P(E\cap \bar{H})=P_E(\bar{H})\times P(E)=0{,}75\times 0{,}20=0{,}15

 

On a donc :
P(\bar{H})=0{,}162+0{,}1+0{,}15

D'après la règle de la somme des probabilités d'un arbre pondéré :
P_A(\bar{H})= 1 - P_A(H)
P_A(\bar{H})= 1 - 0{,}2

D'après la règle de la somme des probabilités d'un arbre pondéré :
P_B(H)= 1 - P_B(\bar{H})
P_B(H)= 1 - 0{,}7

Donc

D'après la règle de la somme des probabilités d'un arbre pondéré, la probabilité d'un événement H est la somme des probabilités des chemins aboutissant à H :
P(\bar{H})=P(A\cap \bar{H})+P(B\cap \bar{H})+P(C\cap \bar{H}).

D'après l'arbre pondéré, on a :

• P(A)=0{,}30
• P(B)=0{,}40
• P(C)=0{,}30
• P_A(\bar{H})=0{,}80
• P_B(\bar{H})=0{,}70
• P_C(\bar{H})=0{,}90

 

D'après la définition des probabilités conditionnelles, on a :

• P_A(\bar{H})=\dfrac{P(A\cap \bar{H})}{P(A)}
• P_B(\bar{H})=\dfrac{P(B\cap \bar{H})}{P(B)}
• P_C(\bar{H})=\dfrac{P(C\cap \bar{H})}{P(C)}

 

Ainsi, on a :

• P(A\cap \bar{H}) = P_A(\bar{H}) \times P(A) = 0{,}80 \times 0{,}3 = 0{,}24
• P(B\cap \bar{H}) = P_B(\bar{H}) \times P(B) = 0{,}70 \times 0{,}40 = 0{,}28
• P(C\cap \bar{H}) = P_C(\bar{H}) \times P(C) = 0{,}9 \times 0{,}30 = 0{,}27

 

On a donc :
P(\bar{H})= 0{,}24 + 0{,}28 + 0{,}27

D'après la règle de la somme des probabilités d'un arbre pondéré, la probabilité d'un événement H est la somme des probabilités des chemins aboutissant à H : P(H)=P(A\cap H)+P(B\cap H)+P(C\cap H).

D'après l'arbre pondéré, on a :

• P(A)=0{,}80
• P(B)=0{,}10
• P(C)=0{,}10
• P_A(H)=0{,}30
• P_B(H)=0{,}30
• P_C(H)=0{,}60

 

D'après la définition des probabilités conditionnelles, on a :

• P_A(H)=\dfrac{P(A\cap H)}{P(A)}
• P_B(H)=\dfrac{P(B\cap H)}{P(B)}
• P_C(H)=\dfrac{P(C\cap H)}{P(C)}

 

Ainsi, on a :

• P(A\cap H) = P_A(H) \times P(A) = 0{,}30 \times 0{,}80 = 0{,}24
• P(B\cap H) = P_B(H) \times P(B) = 0{,}30 \times 0{,}10 = 0{,}03
• P(C\cap H) = P_C(H) \times P(C) = 0{,}60 \times 0{,}10 = 0{,}06

 

On a donc :
P(H)= 0{,}24 + 0{,}03 + 0{,}06