Dans les problèmes suivants, quelles sont les probabilités données par l'énoncé ?
L'exploitant d'une forêt communale décide d'abattre des arbres afin de les vendre, soit aux habitants de la commune, soit à des entreprises. On admet parmi les arbres abattus que :
- 30 % sont des chênes ;
- 50 % sont des sapins ;
- les autres sont des arbres d'essences secondaires.
On sait également que :
- 45,9 % des chênes abattus sont vendus aux habitants de la commune ;
- 80 % des sapins abattus sont vendus aux habitants de la commune ;
- un quart des arbres d'essences secondaires abattus sont vendus aux habitants de la commune.
On considère les événements suivants :
- C : « L'arbre abattu est un chêne » ;
- S : « L'arbre abattu est un sapin » ;
- E : « L'arbre abattu est un arbre d'essence secondaire » ;
- H : « L'arbre abattu est vendu à un habitant de la commune ».
D'après l'énoncé, on a :
- 30 % des arbres abattus sont des chênes, donc p(C)=0{,}30.
- 50 % des arbres abattus sont des sapins, donc p(S)=0{,}50.
- Les autres arbres abattus (soit 20 %) sont des arbres d'essences secondaires, donc p(E)=0{,}20.
Par ailleurs, 45,9 % des chênes abattus sont vendus aux habitants de la commune, donc sachant que l'arbre abattu est un chêne, la probabilité qu'il soit vendu à un habitant de la commune est de 0,459. Ainsi :
p_C(H)=0{,}459
De même :
- 80 % des sapins abattus sont vendus aux habitants de la commune, donc p_S(H)=0{,}80.
- Un quart des arbres d'essences secondaires abattus sont vendus aux habitants de la commune, donc p_E(H)=0{,}25.
Ainsi, les probabilités dans l'énoncé du problème sont :
- p(C)=0{,}30
- p(S)=0{,}50
- p(E)=0{,}20
- p_C(H)=0{,}459
- p_S(H)=0{,}80
- p_E(H)=0{,}25
Une usine fabrique des composants électroniques sur trois lignes de production différentes.
- La ligne 1 produit 50 % des composants électroniques.
- La ligne 2 produit 30 % des composants électroniques.
- La ligne 3 produit 20 % des composants électroniques.
On sait également que :
- La ligne 2 a un taux de rebut de 4 %.
- La ligne 3 a un taux de rebut de 8 %.
On considère les événements suivants :
- L1 : « Le composant est produit par la ligne 1 » ;
- L2 : « Le composant est produit par la ligne 2 » ;
- L3 : « Le composant est produit par la ligne 3 » ;
- R : « Le composant est un rebut ».
D'après l'énoncé, on a :
- La ligne 1 produit 50 % des composants électroniques, donc p(L1)=0{,}50.
- La ligne 2 produit 30 % des composants électroniques, donc p(L2)=0{,}30.
- La ligne 3 produit 20 % des composants électroniques, donc p(L3)=0{,}20.
Par ailleurs, on connaît les taux de rebut des lignes 2 et 3, donc :
p_{L2}(R)=0{,}04
p_{L3}(R)=0{,}08
Ainsi, les probabilités dans l'énoncé du problème sont :
- p(L1)=0{,}50
- p(L2)=0{,}30
- p(L3)=0{,}20
- p_{L2}(R)=0{,}04
- p_{L3}(R)=0{,}08
On considère une maladie qui touche une personne sur mille. Lors du dépistage de cette maladie, 99 % des personnes malades sont testées positives, et 95 % des personnes saines sont testées négatives.
On considère les événements suivants :
- M : « La personne est atteinte de la maladie » ;
- O : « La personne n'est pas atteinte de la maladie » ;
- P : « Le test est positif » ;
- N : « Le test est négatif ».
D'après l'énoncé, on a sait que la maladie touche une personne sur mille donc :
p(M)=0{,}001
On en déduit :
p(O)=1-p(M)=0{,}999
De plus, on sait que si une personne est atteinte de la maladie alors le test est positif à 99 % donc :
p_M(P)=0{,}99
Et si la personne n'est pas malade alors le test est négatif à 95 %, donc :
p_O(N)=0{,}95
Ainsi, les probabilités dans l'énoncé du problème sont :
- p(M)=0{,}001
- p(O)=0{,}999
- p_M(P)=0{,}99
- p_O(N)=0{,}95
Un laboratoire effectue un test pour un nouveau médicament sur un échantillon de 1 000 personnes.
Parmi ces 1000 personnes :
- 600 prennent le médicament A.
- 400 prennent le médicament B.
À la fin du test, 600 personnes sont guéries, et parmi ces personnes :
- 400 ont pris le médicament A.
- 200 ont pris le médicament B.
On considère les événements suivants :
- A : « La personne a pris le médicament A » ;
- B : « La personne a pris le médicament B » ;
- G : « La personne est guérie ».
D'après l'énoncé, on sait que 600 patients ont pris le médicament A et que 400 patients ont pris le médicament B :
p(A)=\dfrac{600}{1000}=0{,}6
p(B)=\dfrac{400}{1000}=0{,}4
On sait également que 600 patients sont guéris, donc :
p(G)=\dfrac{600}{1000}=0{,}6
De plus, parmi ces 600 patients guéris, 400 ont pris le médicament A et 200 ont pris le médicament B :
p_G(A)=\dfrac{400}{600}=0{,}67
p_G(B)=\dfrac{200}{600}=0{,}33
Ainsi, les probabilités dans l'énoncé du problème sont :
- p(A)=0{,}6
- p(B)=0{,}4
- p(G)=0{,}6
- p_G(A)=0{,}67
- p_G(B)=0{,}33
On tire au sort une boule dans un sac qui contient 100 boules.
Parmi ces boules :
- 60 boules sont bleues.
- 30 boules sont rouges.
- 10 boules sont vertes.
De plus, il est écrit « gagné » sur :
- 30 boules bleues ;
- 3 boules rouges ;
- 7 boules vertes.
On considère les événements suivants :
- B : « La boule est bleue » ;
- R : « La boule est rouge » ;
- V : « La boule est verte » ;
- G : « Il est écrit "gagné" sur la boule ».
D'après l'énoncé, on a sait qu'il y a 100 boules réparties selon trois couleurs, 60 bleues, 30 rouges, 10 vertes :
p(B)=\dfrac{60}{100}=0{,}6
p(R)=\dfrac{30}{100}=0{,}3
p(V)=\dfrac{10}{100}=0{,}1
De plus on sait qu'il est écrit « gagné » sur 40 boules (30 + 7 + 3) :
p(G)=\dfrac{30+7+3}{100}=0{,}4
Et on connaît la répartition des boules « gagné » par couleur, 30 sont bleues, 3 sont rouges, 7 sont vertes :
p_B(G)=\dfrac{30}{60}=0{,}5
p_R(G)=\dfrac{3}{30}=0{,}1
p_V(G)=\dfrac{7}{10}=0{,}7
Ainsi, les probabilités dans l'énoncé du problème sont :
- p(B)=0{,}6
- p(R)=0{,}3
- p(V)=0{,}1
- p(G)=0{,}4
- p_B(G)=0{,}5
- p_R(G)=0{,}1
- p_V(G)=0{,}7