L'ensemble \mathbb{Q} est-il stable par multiplication ?
Si l'on multiplie deux nombres rationnels, on obtient toujours un nombre rationnel.
En effet, si a \in \mathbb{Q} , alors il existe p_{1}\in\mathbb{Z} et q_{1}\in \mathbb{Z}^{*} tels que :
a = \dfrac{p_1}{q_1}
De même, si b \in \mathbb{Q} , alors il existe p_{2}\in\mathbb{Z} et q_{2}\in \mathbb{Z}^{*} tels que :
b = \dfrac{p_2}{q_2}
Donc :
a \times b = \dfrac{p_1}{q_1} \times \dfrac{p_2}{q_2}
a \times b = \dfrac{p_1 p_2}{q_1 q_2}
Comme p_1 p_2 \in \mathbb{Z} et q_{1}q_{2}\in \mathbb{Z}^{*}, a \times b \in \mathbb{Q} .
\mathbb{Q} est donc stable par multiplication.
L'ensemble \mathbb{Q} est-il stable par soustraction ?
Si l'on soustrait deux nombres rationnels, on obtient toujours un nombre rationnel.
En effet, si a \in \mathbb{Q} , alors il existe p_{1}\in\mathbb{Z} et q_{1}\in \mathbb{Z}^{*} tels que :
a = \dfrac{p_1}{q_1}
De même, si b \in \mathbb{Q} , alors il existe p_{2}\in\mathbb{Z} et q_{2}\in \mathbb{Z}^{*} tels que :
b = \dfrac{p_2}{q_2}
Donc :
a - b = \dfrac{p_1}{q_1} - \dfrac{p_2}{q_2}
a - b = \dfrac{p_1 q_2 - p_2 q_1}{q_1 q_2}
Comme p_1 q_2 \in \mathbb{Z} et p_2 q_1 \in \mathbb{Z} , p_1 q_2 - p_2 q_1 \in \mathbb{Z} et q_{1}q_{2}\in\mathbb{Z}^{*}.
Donc a - b \in \mathbb{Q} .
\mathbb{Q} est donc stable par soustraction.
L'ensemble \mathbb{D} est-il stable par soustraction ?
En effet, si a \in \mathbb{D} , alors il existe p \in \mathbb{Z}, m \in \mathbb{N} tels que :
a = \dfrac{p}{10^m}
De même, si b \in \mathbb{D} , alors il existe q \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} tels que :
b = \dfrac{q}{10^n}
Donc :
a - b = \dfrac{p}{10^m} - \dfrac{q}{10^n}
a - b = \dfrac{p \times 10^n - q \times 10^m}{10^m \times 10^n}
a - b = \dfrac{p \times 10^n - q \times 10^m}{10^{m+n}}
Comme p \times 10^n - q \times 10^m \in \mathbb{Z} , alors a-b \in \mathbb{D} .
\mathbb{D} est donc stable par soustraction.
L'ensemble \mathbb{D} est-il stable par division ?
Si l'on divise deux nombres décimaux, on n'obtient pas toujours un nombre décimal.
Par exemple, a = 1{,}3 = \dfrac{13}{10} et b = 3{,}9 = \dfrac{39}{10} , on a :
\dfrac{a}{b}=\dfrac{\dfrac{13}{10}}{\dfrac{39}{10}} = \dfrac{13}{39}= \dfrac{1}{3}\notin \mathbb{D}
\mathbb{D} n'est donc pas stable par division.
L'ensemble \mathbb{R} est-il stable par multiplication ?
L'ensemble des réels est le plus grand ensemble de nombres que l'on peut construire.
Il comprend tous les nombres qui ne sont pas rationnels (par exemple \pi, \sqrt{2}, \cdots ).
\mathbb{R} est donc stable par multiplication.