Soient a et b deux nombres entiers naturels.
À quel(s) ensemble(s) appartient de façon certaine a-b ?
Même si a et b sont positifs, leur différence n'est pas forcément positive.
Par exemple : 3-5 = -2.
Par contre, c'est forcément un nombre entier.
La différence a-b est donc un entier relatif.
Par inclusion des ensembles, c'est donc aussi un nombre décimal, rationnel et réel.
Soient n un entier naturel et q un nombre rationnel.
À quel(s) ensemble(s) appartient de façon certaine n \times q ?
Ce n'est pas forcément un nombre entier, ni un nombre décimal.
Par exemple : 3 \times \dfrac 5 7 = \dfrac {15} 7 \approx 2{,}14 n'est ni entier ni décimal.
Par contre, c'est obligatoirement un nombre rationnel, et un nombre réel.
Soient a et b deux nombres décimaux.
À quel(s) ensemble(s) appartient de façon certaine a \times b ?
Comme a et b sont des nombres décimaux, on peut les écrire sous forme d'un quotient d'un nombre entier relatif par une puissance de 10.
Il existe donc k, k' entiers relatifs et m et m' entiers naturels tels que :
a = \dfrac k {10^m} et b = \dfrac {k'}{10^{m'}}
Donc a \times b = \dfrac k {10^m} \times \dfrac {k'} {10^{m'}} = \dfrac {k \times k'} {10^m \times 10^{m'}}= \dfrac {k \times k'} {10^{m+m'}}.
Comme le produit des deux entiers relatifs k et k' est aussi un entier relatif, et que 10^{m+m'} est bien une puissance de 10, le produit a \times b est bien un nombre décimal.
Il est donc aussi rationnel et réel.
Soient a et b deux nombres décimaux, avec b non nul.
À quel(s) ensemble(s) appartient de façon certaine \dfrac a b ?
Le quotient de deux nombres décimaux est obligatoire un nombre rationnel.
En effet, comme a et b sont des nombres décimaux, on peut les écrire sous forme d'un quotient d'un nombre entier relatif par une puissance de 10.
Il existe donc k, k' entiers relatifs k' \neq 0 et m et m' entiers naturels tels que :
a = \dfrac k {10^m} et b = \dfrac {k'}{10^{m'}}.
Donc \dfrac a b = \dfrac{\dfrac k {10^m}}{ \dfrac {k'} {10^{m'}}} = \dfrac {k} {10^m} \times \dfrac {10^{m'}} {k'} = \dfrac {k \times 10^{m'}} {k' \times10^{m}}.
Comme k \times 10^{m'} et k' \times 10^{m} sont des entiers relatifs, le quotient est un nombre rationnel.
Par contre, ce n'est pas forcément un nombre décimal.
Par exemple : \dfrac {\dfrac 5 {10}}{\dfrac 7 {10}} = \dfrac 5 {10} \times \dfrac {10} 7 = \dfrac 5 7 n'est pas un nombre décimal.
Enfin, c'est aussi un nombre réel.
Le produit de deux nombres irrationnels peut-il être rationnel ?
Le produit de deux nombres irrationnels peut être rationnel.
Par exemple : \sqrt 2 \times \sqrt 8 = \sqrt {16} = 4.
\sqrt 2 et \sqrt 8 sont des nombres irrationnels car ni 2 ni 8 ne sont des carrés parfaits.
Mais le produit fait 4, qui est un nombre entier, donc rationnel.