On souhaite démontrer que \dfrac{1}{3} n'est pas un nombre décimal.
Si \dfrac{1}{3} était un nombre décimal, il existerait deux entiers positifs a et n tels que :
Un nombre décimal d possède un nombre fini de chiffres après sa virgule. C'est-à-dire qu'il existe une puissance de 10, notée 10^n, telle que 10^n\times d devient entier.
Il existe donc n un entier positif tel que \dfrac{1}{3} \times 10^n est un entier positif, que l'on note a .
Ainsi, si \dfrac{1}{3} était un nombre décimal, il existerait deux entiers positifs a et n tels que \dfrac{1}{3} = \dfrac{a}{10^n} .
Que peut-on dire de 3a ?
Si \dfrac{1}{3} est un nombre décimal, alors il existe a, n des entiers positifs tels que :
\dfrac{1}{3} = \dfrac{a}{10^n}
En faisant passer 3 de l'autre côté, on a :
1 = \dfrac{3a}{10^n}
Et en faisant passer 10^n de l'autre côté, on a :
10^n = 3a
Ainsi, 3a = 10^n .
Que peut-on dire d'un nombre divisible par 3 ?
Un nombre est divisible par 3 si la somme de tous les chiffres qui le composent est divisible par 3.
Quelle est la somme des chiffres de 10^n ?
Le nombre 10^n est composé d'un 1, suivi de n zéros.
La somme des chiffres qui le composent est donc :
1 + 0 + \cdots + 0 = 1
\dfrac{1}{3} est-il un nombre décimal ?
Si \dfrac{1}{3} était un nombre décimal, il existerait a, n des entiers positifs tels que :
3a = 10^n
Or, la somme des chiffres de 10^n vaut 1, qui n'est pas divisible par 3.
Cependant, si 10^n = 3a , alors 10^n est un multiple de 3.
On trouve une contradiction, donc \dfrac{1}{3} n'est pas un nombre décimal.