Si \sqrt{2} était rationnel, comment pourrait-on l'écrire ?
Supposons que \sqrt{2} soit rationnel.
Alors il peut s'écrire sous forme de fraction non simplifiable.
Il existe a, b des nombres entiers positifs tels que :
\sqrt{2} = \dfrac{a}{b}
Et si la fraction n'est pas simplifiable, alors a et b sont premiers entre eux.
Il existe donc a, b > 0 des entiers premiers entre eux tels que \sqrt{2} = \dfrac{a}{b} .
Comment peut-on écrire a^2 , avec a défini précédemment ?
Si \sqrt{2} est rationnel, alors il existe a,b des entiers positifs premiers entre eux tels que :
\sqrt{2} = \dfrac{a}{b}
D'où :
a = b \sqrt{2}
En passant au carré, on obtient : a^2 = 2 b^2 .
Si a^2 est un entier pair, que peut-on dire de la parité de a ?
Montrons par contraposition que si a^2 est pair, alors a est pair.
Si a est impair, alors il existe p >0 un entier tel que :
a = 2p + 1
Donc :
a^2 = (2p+1)^2 = 4p^2 + 4p + 1
a^2 = 2(2p^2 + 2p) + 1 = 2m + 1
avec m = 2p^2 + 2p
Donc a^2 est impair.
Ainsi, si a^2 est pair, alors a est pair.
Si a^2 = 2 b^2 et que a est un entier pair, a et b sont-ils premiers entre eux ?
Puisque a^2 est pair, a est également pair et il existe un entier p tel que :
a = 2p
Ainsi :
2b^2 = a^2 = (2p)^2 = 4p^2
Donc :
b^2 = 2p^2
On déduit que b^2 est pair, donc b est pair.
Ainsi, on peut simplifier la fraction \dfrac{a}{b} par 2 , ce qui contredit l'hypothèse selon laquelle a et b sont premiers entre eux.
Par conséquent, \sqrt{2} n'est pas rationnel.
a et b ne sont donc pas premiers entre eux.