Résoudre une équation de type |x-a|=b Exercice

On veut résoudre l'équation \left| x-5 \right| = 25.

On a : 
\left| x-5 \right| = \begin{cases} x-5 \space \text{si} \space x-5 \geqslant 0 \cr \cr -x+5 \space \text{si} \space x-5 \lt 0 \end{cases}

Donc : 
\left| x-5 \right| = 25 \Leftrightarrow \begin{cases} x-5 =25 \space \text{si} \space x \geqslant 5 \cr \cr -x+5=25 \space \text{si} \space x \lt 5 \end{cases}
\left| x-5 \right| = 25 \Leftrightarrow \begin{cases} x=30 \space \text{si} \space x \geqslant 5 \cr \cr x=-20 \space \text{si} \space x \lt 5 \end{cases}
\left| x-5 \right| = 25 \Leftrightarrow \begin{cases} x=30 \cr \cr \text{ou} \cr \cr x=-20 \end{cases}

On veut résoudre l'équation \left| x-7 \right| = 12.

On a : 
\left| x-7 \right| = \begin{cases} x-7 \space \text{si} \space x-7 \geqslant 0 \cr \cr -x+7 \space \text{si} \space x-7 \lt 0 \end{cases}

Donc : 
\left| x-7 \right| = 12 \Leftrightarrow \begin{cases} x-7 =12 \space \text{si} \space x \geqslant 7 \cr \cr -x+7=12 \space \text{si} \space x \lt 7 \end{cases}
\left| x-7 \right| = 12 \Leftrightarrow \begin{cases} x=19 \space \text{si} \space x \geqslant 7 \cr \cr x=-5 \space \text{si} \space x \lt 7 \end{cases}
\left| x-7 \right| = 12 \Leftrightarrow \begin{cases} x=19 \cr \cr \text{ou} \cr \cr x=-5 \end{cases}

On veut résoudre l'équation \left| x-6 \right| = 20.

On a : 
\left| x-6 \right| = \begin{cases} x-6 \space \text{si} \space x-6 \geqslant 0 \cr \cr -x+6 \space \text{si} \space x-6 \lt 0 \end{cases}

Donc : 
\left| x-6 \right| = 20 \Leftrightarrow \begin{cases} x-6 =20 \space \text{si} \space x \geqslant 6 \cr \cr -x+6=20 \space \text{si} \space x \lt 6 \end{cases}
\left| x-6 \right| = 20 \Leftrightarrow \begin{cases} x=26 \space \text{si} \space x \geqslant 6 \cr \cr x=-14 \space \text{si} \space x \lt 6 \end{cases}
\left| x-6 \right| = 20 \Leftrightarrow \begin{cases} x=26 \cr \cr \text{ou} \cr \cr x=-14 \end{cases}

On veut résoudre l'équation \left| x-15 \right| = -2.

Or une valeur absolue ne peut être strictement négative.

Donc l'ensemble des solutions est donc :

On veut résoudre l'équation \left| 2-x \right| = 8.

On a : 
\left| 2-x \right| = \begin{cases} 2-x \space \text{si} \space 2-x \geqslant 0 \cr \cr x-2 \space \text{si} \space 2-x \lt 0 \end{cases}

Donc : 
\left| 2-x \right| = 8 \Leftrightarrow \begin{cases} 2-x =8 \space \text{si} \space x \leqslant 2 \cr \cr x-2=8 \space \text{si} \space x \gt 2 \end{cases}
\left| 2-x \right| = 8 \Leftrightarrow \begin{cases} x=-6 \space \text{si} \space x \leqslant 2 \cr \cr x=10 \space \text{si} \space x \gt 2 \end{cases}
\left| 2-x \right| = 8 \Leftrightarrow \begin{cases} x=-6 \cr \cr \text{ou} \cr \cr x=10 \end{cases}