On considère la figure ci-dessous composée d'un triangle ABC équilatéral et direct et les triangles ABI et CBJ tels que :
- CBJ est direct, isocèle et rectangle en J.
- ABI est direct, isocèle et rectangle en A.
On se propose de démontrer que les points C, I et J sont alignés en utilisant les propriétés des angles orientés.
Quelle est la mesure de l'angle orienté \left(\overrightarrow{CB} ; \overrightarrow{CJ}\right) ?
On sait que le triangle CBJ est isocèle en J.
On en déduit que :
\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CJ} \right) = \dfrac{\pi - \left(\overrightarrow{JC};\overrightarrow{JB} \right) }{2}\left[ 2\pi \right]
Or, le triangle CBJ est rectangle en J. Donc :
\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CJ} \right) = \dfrac{\pi - \dfrac{\pi}{2}}{2}\left[ 2\pi \right]
\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CJ} \right) = \dfrac{\dfrac{\pi}{2}}{2}\left[ 2\pi \right]
Finalement :
\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CJ} \right) = \dfrac{\pi}{4}\left[ 2\pi \right]
Quelle est la mesure de l'angle orienté \left(\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB} \right) ?
Le triangle ABC est équilatéral.
On en déduit que :
\left(\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB} \right) = \dfrac{\pi}{3}\left[ 2\pi \right]
Quelle est la mesure de l'angle orienté \left(\overrightarrow{CI} ; \overrightarrow{CA}\right) ?
On sait que le triangle ABC est équilatéral.
On en déduit que AB = AC.
De même, on sait que le triangle ABI est isocèle en A.
On en déduit que AB = AI
Donc, il vient que AC= AI
Par conséquent, le triangle ACI est isocèle en A.
On peut ainsi écrire :
\left(\overrightarrow{CI};\overrightarrow{CA} \right) = \dfrac{\pi - \left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AI} \right) }{2}\left[ 2\pi \right]
Or, d'après la relation de Chasles :
\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AI} \right) = \left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB} \right) +\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AI} \right)\left[ 2\pi \right]
Le triangle ABC étant équilatéral et le triangle ABI rectangle en I, on a :
\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AI} \right) = -\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{2}\left[ 2\pi \right]
\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AI} \right) =-\dfrac{2\pi}{6}+\dfrac{3\pi}{6}\left[ 2\pi \right]
\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AI} \right) =\dfrac{\pi}{6}\left[ 2\pi \right]
On en déduit que :
\left(\overrightarrow{CI};\overrightarrow{CA} \right) = \dfrac{\pi - \dfrac{\pi}{6}}{2}\left[ 2\pi \right]
\left(\overrightarrow{CI};\overrightarrow{CA} \right) = \dfrac{\dfrac{5\pi}{6}}{2}\left[ 2\pi \right]
Finalement :
\left(\overrightarrow{CI};\overrightarrow{CA} \right) = \dfrac{5\pi}{12}\left[ 2\pi \right]
D'après la relation de Chasles, quelle est la mesure de \left(\overrightarrow{CI};\overrightarrow{CJ} \right) ?
D'après la relation de Chasles :
\left(\overrightarrow{CI};\overrightarrow{CJ} \right) = \left(\overrightarrow{CI};\overrightarrow{CA} \right) +\left(\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB} \right) + \left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CJ} \right)\left[ 2\pi \right]
Or d'après les questions précédentes, on sait que :
- \left(\overrightarrow{CI};\overrightarrow{CA} \right) = \dfrac{5\pi}{12}\left[ 2\pi \right]
- \left(\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB} \right) = \dfrac{\pi}{3}\left[ 2\pi \right]
- \left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CJ} \right) =\dfrac{\pi}{4}\left[ 2\pi \right]
On en déduit que :
\left(\overrightarrow{CI};\overrightarrow{CJ} \right) = \dfrac{5\pi}{12}+ \dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}\left[ 2\pi \right]
\left(\overrightarrow{CI};\overrightarrow{CJ} \right) = \dfrac{5\pi}{12}+ \dfrac{4\pi}{12}+\dfrac{3\pi}{12}\left[ 2\pi \right]
\left(\overrightarrow{CI};\overrightarrow{CJ} \right) =\dfrac{12\pi}{12}\left[ 2\pi \right]
\left(\overrightarrow{CI};\overrightarrow{CJ} \right) =\pi\left[ 2\pi \right]
On vient de démontrer qu'une mesure de l'angle \left(\overrightarrow{CI};\overrightarrow{CJ} \right) est \pi, les points C, I et J sont donc alignés.