Un particulier désire construire sa maison sur un terrain trapézoïdal rectangle en A et B.On le représente par le quadrilatère ABCD et on a :
AB = 40 m, AD = 30 m et BC = 10 m
La base de la maison occupe le rectangle AMNP.
On note x la longueur AM en mètres et \mathcal{A} (x) l'aire du rectangle AMNP en m2.
On cherche l'aire maximale du rectangle AMNP.
D'après la figure géométrique, l'aire du rectangle AMNP est :
\mathcal{A} (x) = AM \times AP = x\times AP
Pour pouvoir déterminer l'aire du rectangle AMNP, il est nécessaire de connaître l'expression de AP en fonction de x.
Pour cela, on construit le point E tel que DEC soit un triangle rectangle en E. De ce fait, on a (EC) parallèle à (AB) et à (NP). On a également :
AE = 10 donc DE = 20 et EC = 40
En appliquant le théorème de Thalès dans le triangle DEC avec (EC) parallèle à (PN), on obtient :
\dfrac{PN}{EC} = \dfrac{DP}{DE}
\dfrac{x}{40} = \dfrac{DP}{20}
On peut en déduire :
DP = \dfrac{20}{40} x = \dfrac{1}{2} x
Alors :
AP = AD - DP = 30 - \dfrac{1}{2} x
Ainsi :
\mathcal{A} (x) = AM \times AP
\mathcal{A} (x) = x\times \left(30 - \dfrac{1}{2} x\right)
La fonction à étudier est donc :
\mathcal{A} (x) = - \dfrac{1}{2} x^2+30x
Un particulier désire construire sa maison sur un terrain trapézoïdal rectangle en A et B. On le représente par le quadrilatère ABCD et on a :
AB = 50 m, AD = 40 m et BC = 20 m
La base de la maison occupe le rectangle AMNP.
On note x la longueur AP en mètres et \mathcal{A} (x) l'aire du rectangle AMNP en m2.
On cherche l'aire maximale du rectangle AMNP.
D'après la figure géométrique, l'aire du rectangle AMNP est :
\mathcal{A} (x) = AM \times AP = x\times AM
Pour pouvoir déterminer l'aire du rectangle AMNP, il est nécessaire de connaître l'expression de AM en fonction de x.
Pour cela, on construit le point E tel que DEC soit un triangle rectangle en E. De ce fait, on a (EC) parallèle à (AB) et à (NP). On a également :
AE = 20 donc DE = 20 et EC = 50
En appliquant le théorème de Thalès dans le triangle DEC avec (EC) parallèle à (PN), on obtient :
\dfrac{DP}{DE} = \dfrac{PN}{EC}
Comme PN = AM et EC = AB, on en déduit :
\dfrac{DP}{DE}=\dfrac{AM}{AB}.
Ainsi, AM = AB\times \dfrac{DP}{DE}.
AM = 50\times \dfrac{40-x}{20}
Or,
\mathcal{A} (x) = AM \times AP
Donc,
\mathcal{A} (x) = 50x\times \left(\dfrac{40-x}{20} \right)
\mathcal{A} (x) = \dfrac{5x(40-x)}{2}
Ainsi :
\mathcal{A} (x) = \dfrac{5x(40-x)}{2}
Un particulier désire construire sa maison sur un terrain rond de centre A et de rayon R=10.
La base de la maison occupe le rectangle BCDE.
On note x la longueur DC en mètres et \mathcal{A} (x) l'aire du rectangle BCDE en m2.
On cherche l'aire maximale du rectangle BCDE.
D'après la figure géométrique, l'aire du rectangle BCDE est :
\mathcal{A} (x) = BC \times DC = x\times BC
Pour pouvoir déterminer l'aire du rectangle BCDE, il est nécessaire de connaître l'expression de BC en fonction de x.
Pour cela, on peut utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle BCD :
BD^2=DC^2+BC^2
On sait que DC=x et DB = 2R= 20 car c'est le diamètre du cercle.
Donc :
400=x^2+BC^2
BC= \sqrt{400-x^2}
Ainsi :
\mathcal{A} (x) = BC \times DC = x\times BC
\mathcal{A} (x) = x\times \sqrt{400-x^2}
Ainsi :
\mathcal{A} (x) = x\times \sqrt{400-x^2}
On considère la figure ci-dessous. On cherche à maximiser la somme des aires des cercles \mathcal{C_2} et \mathcal{C_3}.
Le rayon du cercle \mathcal{C_1} est R_1=20 et on note x le rayon du cercle \mathcal{C_2} en mètres et \mathcal{A} (x) la somme des aires des cercles \mathcal{C_2} et \mathcal{C_3} en m2.
L'aire du cercle \mathcal{C_2} est donnée par :
\mathcal{A(C_2)} = \pi \times x^2
et :
\mathcal{C_3} = \pi \times R_3^2
Afin d'exprimer l'aire du cercle \mathcal{C_3}, il faut trouver R_3.
D'après la figure géométrique, on a :
R_2+2R_3=R_1
Donc :
R_3 = \dfrac{R_1-R_2}{2}
R_3 = \dfrac{20-x}{2}
Donc :
\mathcal{A(C_3)} = \pi \times \dfrac{(20-x)^2}{4}
Ainsi :
\mathcal{A(C_2)}+\mathcal{A(C_3)} = \pi \times x^2 +\pi \times \dfrac{(20-x)^2}{4}
Ainsi :
\mathcal{A} (x) = \pi \dfrac{4x^2+(20-x)^2}{4}
On considère la figure ci-dessous. On cherche à maximiser l'aire du triangle FGC.
ABCD est un carré de coté 15 m.
F est le milieu de [AB].
On note x la longueur du côté [AG] en mètres et \mathcal{A} (x) l'aire du triangle FGC en m2.
D'après la figure géométrique, on a :
\mathcal{A(x)} =\mathcal{A_{ABCD}} - \mathcal{A_{AGF}} - \mathcal{A_{BFC}} - \mathcal{A_{GDC}}
On a :
\mathcal{A_{ABCD}} = 15^2 = 225
\mathcal{A_{AGF}} = \dfrac{AF \times AG}{2} = \dfrac{7{,}5x}{2}
\mathcal{A_{BFC}} = \dfrac{BF \times BC}{2} = \dfrac{7{,}5\times15}{2}=56{,}25
\mathcal{A_{GDC}} = \dfrac{GD \times DC}{2}= \dfrac{15(15-x)}{2}= \dfrac{225-15x}{2}
Donc :
\mathcal{A(x)} = 225 - \dfrac{7{,}5x}{2} -56{,}25 - \dfrac{225-15x}{2}
\mathcal{A(x)} = 225 - \dfrac{15x}{4} - 56{,}25 - 112{,}5 +\dfrac{30x}{4}
Ainsi :
\mathcal{A} (x) = 56{,}25 + \dfrac{15x}{4}