Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} suivante :
f(x)=\dfrac{x^5}{20} - \dfrac{x^3}{2} - x^2 + 10x
On cherche à savoir quel est le maximum de la fonction f sur [0;1] .
Sur quel intervalle la fonction f est-elle dérivable ?
La fonction f est une somme de fonctions dérivables sur \mathbb{R} .
f est donc dérivable sur \mathbb{R} .
Quelle est la dérivée de f ?
La dérivée de f est la somme de la dérivée des fonctions qui la composent.
f'(x) = \left( \dfrac{x^5}{20} \right)' - \left( \dfrac{x^3}{2} \right)' - (x^2)' + (10x)'
f'(x) = \dfrac{5x^4}{20}- \dfrac{3x^2}{2} - 2x + 10
La dérivée de f est donc f'(x) = \dfrac{x^4}{4} - \dfrac{3x^2}{2} - 2x + 10 .
Quelle est la dérivée de f' ?
Comme f'(x) = \dfrac{x^4}{4} - \dfrac{3x^2}{2} - 2x , la fonction f' se dérive terme à terme :
f''(x) = \left( \dfrac{x^4}{4} \right)' - \left(\dfrac{3x^2}{2} \right)' - (2x)'
f''(x) = \dfrac{4x^3}{4} - \dfrac{6x}{2} - 2
La dérivée de f' est donc f''(x) = x^3 - 3x - 2 .
Comment peut-on factoriser f'' sachant que f''(-1) = 0 ?
f'' est un polynôme de degré 3. Comme f''(-1) = 0 , on peut le factoriser par (x+1) et déterminer les valeurs des coefficients du polynôme d'ordre 2 :
Il existe a , b et c tels que :
\forall x \in \mathbb{R}
f''(x) = (x+1)(ax^2 + bx + c) = ax^3 + bx^2 + cx + ax^2 + bx + c
f''(x) = (x+1)(ax^2 + bx + c) = ax^3 + (a+b)x^2 + (c + b)x + c
En identifiant les termes devant les puissances, on détermine :
a = 1
a+b = 0
c + b = -3
c = -2
\Leftrightarrow
a = 1
b = -1
c = -2
Donc :
\forall x \in \mathbb{R} , f''(x) = (x+1)(x^2 - x - 2)
Or, x^2 - x - 2 = (x+1)(x-2) .
Ainsi, f''(x) = (x+1)^2(x-2) .
Quelles sont les variations de f' ?
f' est croissante si f'' \geq 0 .
Comme f''(x) = (x+1)^2 (x-2) , \forall x \in \mathbb{R} , f'' est du signe de x - 2 car (x+1)^2 est un carré toujours positif.
x-2 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant 2
f' est donc décroissante sur ]-\infty; 2[ et croissante sur ]2; +\infty[ .
Que vaut f'(2) ?
f'(2) = \dfrac{(2)^4}{4} - \dfrac{3(2)^2}{2} - 2(2) + 10
f'(2) = 4 -6 - 4 + 10
Ainsi, f'(2) = 4 .
Quel est le signe de f' sur \mathbb{R} ?
2 est un minimum global de la fonction f' .
Or, f'(2) > 0 .
f' est donc positive sur \mathbb{R} .
Quel est le maximum de f sur [0;1] ?
Comme f' est positive sur \mathbb{R} , f est croissante sur \mathbb{R} .
Sur l'intervalle [0; 1] , f atteint son maximum en x = 1 .
f(1)=\dfrac{(1)^5}{20} - \dfrac{(1)^3}{2} - (1)^2 + 10 \times 1
f(1)=\dfrac{1}{20} - \dfrac{1}{2} + 9
Ainsi, f(1) = \dfrac{171}{20} .