Donner l'extremum de chacun des polynômes suivants.
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in \mathbb{R} , f(x) = 2x^2-12x+22
Un polynôme du second degré de la forme ax^2+bx+c admet un extremum au point A \left( - \dfrac{b}{2a} ; f \left( - \dfrac{b}{2a} \right)\right).
De plus :
- Si a\gt0, c'est un minimum.
-
Si a\lt0, c'est un maximum.
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R} , f(x) = 2x^2-12x+22
f est un polynôme du second degré, avec :
- a=2
- b=-12
Donc :
- \dfrac{-b}{2a}=\dfrac{12}{2\times 2}=\dfrac{12}{4}=3
- f\left(\dfrac{-b}{2a} \right)=2\times 3^2-12\times 3+18=18 -36+22 =4
Par ailleurs, a\gt0.
On en déduit donc que f admet un minimum au point A\left( 3;4 \right).
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in \mathbb{R} , f(x) = 5(x-2)^2 - 3
Lorsque la fonction f est une fonction polynomiale donnée sous la forme canonique f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta, alors l'extremum de la fonction f est atteint au point A(\alpha, \beta).
Ici, nous avons :
- \alpha = 2
- \beta = -3
De plus :
- Si a\gt0, l'extremum est un minimum.
- Si a\lt0, l'extremum est un maximum.
Ici, a = 5 > 0.
f admet donc un minimum au point A\left( 2;-3 \right).
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in \mathbb{R} , f(x) = -3(x+2)^2 + 1
Lorsque la fonction f est une fonction polynomiale donnée sous la forme canonique f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta, l'extremum de la fonction f est atteint au point A(\alpha, \beta).
Ici, nous avons :
- \alpha = - 2
- \beta = +1
De plus :
- Si a\gt0, l'extremum est un minimum.
- Si a\lt0, l'extremum est un maximum.
Ici, a = -3 < 0.
On en déduit donc que f admet un maximum au point A\left( -2; 1 \right).
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in \mathbb{R} , f(x) = (2x-1)^2 -3
Un polynôme du second degré de la forme ax^2+bx+c admet un extremum au point A \left( - \dfrac{b}{2a} ; f \left( - \dfrac{b}{2a} \right)\right).
De plus :
- Si a\gt0, c'est un minimum.
- Si a\lt0, c'est un maximum.
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R} , f(x) = (4x^2 -4x +1) - 3= 4x^2 -4x - 2
f est un polynôme du second degré, avec :
- a=4
- b=-4
Donc :
- \dfrac{-b}{2a}=\dfrac{4}{2\times 4}=\dfrac{1}{2}
- f\left(\dfrac{-b}{2a} \right)=4 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 -4 \times \left(\dfrac{1}{2}\right) - 2= -3
Par ailleurs, a\gt0.
On en déduit donc que f admet un minimum au point A\left( \dfrac{1}{2}; -3 \right).
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in \mathbb{R} , f(x) = 18x^2-24x+7
Un polynôme du second degré de la forme ax^2+bx+c admet un extremum au point A \left( - \dfrac{b}{2a} ; f \left( - \dfrac{b}{2a} \right)\right).
De plus :
- Si a\gt0, c'est un minimum.
- Si a\lt0, c'est un maximum.
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R} , f(x) = 18x^2 -24x + 7
f est un polynôme du second degré, avec :
- a=18
- b=-24
Donc :
- \dfrac{-b}{2a}=\dfrac{24}{2\times 18}=\dfrac{2}{3}
- f\left(\dfrac{-b}{2a} \right)= 18 \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 -24 \times \left(\dfrac{2}{3}\right) + 7 = -1
Par ailleurs, a\gt0.
On en déduit donc que f admet un minimum au point A\left( \dfrac{2}{3};-1 \right).