On considère la fonction f(x) = \sqrt (x)(x-1)^2.
Quel est le domaine de dérivation I de la fonction f ?
Pour les domaines de dérivabilité, il faut faire attention aux racines carrées : une fonction comportant une racine carrée n'est dérivable que lorsque la fonction sous la racine est strictement positive.
Ici, il faut donc que x \gt 0.
On a donc : I=]0;+\infty[.
Que vaut f'(x) sur I ?
La fonction f est un produit de fonctions :
f(x)=u(x)v(x)
On connaît la formule pour dériver un produit de fonctions :
(u(x)v(x))'=u'(x)v(x)+v'(x)u(x)
Ici, on pose :
u(x) = \sqrt x et v(x) = (x-1)^2
On a alors :
- u'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt x}
- v'(x) = 2(x-1)
On calcule f' :
f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt x}(x-1)^2+\sqrt x \times 2(x-1)
= \dfrac{x^2-2x+1}{2\sqrt x} + \dfrac{2\sqrt x 2\sqrt x (x-1)}{2\sqrt x}
=\dfrac{(x^2-2x+1+4x^2-4x)}{2\sqrt x}
=\dfrac{5x^2-6x+1}{2\sqrt x}
Ainsi, on a :
f'(x)=\dfrac{(5x^2-6x+1)}{2\sqrt(x)}
Quel est le tableau de signes du polynôme u(x) = 5x^2-6x+1 sur I ?
Pour trouver le tableau de signes d'un polynôme du second degré, il faut commencer par calculer son déterminant puis ses racines :
\Delta = b^2-4ac=6^2-4\times 5 \times 1 = 16
Les racines sont alors :
\textrm{x}_\textrm{1}= \dfrac{-b -\sqrt \Delta}{2a} = \dfrac{6-4}{10}=\dfrac{1}{5}\\\textrm{x}_\textrm{2}= \dfrac{-b +\sqrt \Delta}{2a} = \dfrac{6+4}{10}=1
Enfin, on sait qu'un polynôme du second degré est du signe de a en dehors de ses racines, et du signe opposé de a entre ses racines.
On a donc :
Quel est le tableau de signes final de f' et le tableau de variations de f ?
La fonction 2\sqrt x est positive sur I. Ainsi f'(x) est du signe de u(x) sur I.
On obtient donc le tableau de variations suivant :
