Soit l'inégalité :
(I) : 3x^4 - 2 > 2x^2 - 4
On cherche à résoudre (I) sur \mathbb{R} .
De quelle fonction doit-on étudier le signe pour résoudre cette inégalité ?
En passant tous les termes dans (I) du même côté, on a :
(I) : 3x^4 - 2 > 2x^2 - 4 \Leftrightarrow 3x^4 - 2 - 2x^2 + 4 > 0
(I) : 3x^4 - 2 > 2x^2 - 4 \Leftrightarrow 3x^4 - 2x^2 + 2 > 0
Pour résoudre cette inégalité, on doit donc étudier le signe de la fonction : f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 2 .
Sur quel intervalle f est-elle dérivable ?
f est une fonction polynomiale.
f est donc dérivable sur \mathbb{R} .
Quelle est la dérivée de f ?
On a :
f(x) = 3x^4 - 2x^2 +2
Donc :
f'(x) = (3x^4)' - (2x^2)' + (2)'
f'(x) = 12x^3 - 4x + 0
Ainsi, f'(x) = 4x(3x^2-1) .
Quel est le signe de f' ?
On a :
f'(x) = 4x (3x^2 - 1)
On étudie donc le signe de 4x et 3x^2 - 1 :
4x > 0 \Leftrightarrow x > 0
et
3x^2 - 1 > 0 \Leftrightarrow 3x^2 > 1
3x^2 - 1 > 0 \Leftrightarrow x^2 > \dfrac{1}{3}
3x^2 - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{\sqrt{3}} ou x < - \dfrac{1}{\sqrt{3}}
f' est donc négative sur \left]-\infty; -\dfrac{1}{\sqrt{3}} \right] \cup \left[0; \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right] .
Quel est le tableau de variations de f ?
f est décroissante si sa dérivée f' est négative.
Or f' est négative sur \left]-\infty; -\dfrac{1}{\sqrt{3}} \right] \cup \left[0; \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right] .
Ainsi, f\left( -\dfrac{1}{\sqrt{3}} \right) = \dfrac{5}{3} et f\left( \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right) = \dfrac{5}{3} sont des minima globaux.
On en déduit donc le tableau de variations de f :
Sur quel intervalle l'inégalité (I) est-elle vraie ?
On a:
(I) : 3x^4 - 2 > 2x^2 - 4 \Leftrightarrow f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 2 > 0 \)
D'après le tableau de variations, f(x) > 0, \forall x \in \mathbb{R} .
(I) est donc vraie sur \mathbb{R} .