Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} :
f(x) = x^4 - x^2 + 1
On cherche le signe de f .
Sur quel intervalle f est-elle dérivable ?
f est une fonction polynomiale.
f est donc dérivable sur \mathbb{R} .
Quelle est la dérivée de f ?
On a :
f(x) = x^4 - x^2 +1
Donc :
f'(x) = (x^4)' - (x^2)' + (1)'
f'(x) = 4x^3 - 2x + 0
Ainsi, f'(x) = 2x (2x^2 - 1) .
Quel est le signe de f' ?
On a :
f'(x) = 2x (2x^2 - 1)
On étudie donc le signe de 2x et 2x^2 - 1 :
2x > 0 \Leftrightarrow x > 0
et
2x^2 - 1 > 0 \Leftrightarrow 2x^2 > 1
2x^2 - 1 > 0 \Leftrightarrow x^2 > \dfrac{1}{2}
2x^2 - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{\sqrt{2}} ou x < - \dfrac{1}{\sqrt{2}}
Ainsi :
Quel est le tableau de variations de f ?
f est décroissante si sa dérivée f' est négative.
Or f' est négative sur \left]-\infty; -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right] \cup \left[0; \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right] .
Ainsi, f\left( -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) = \dfrac{3}{4} et f\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) = \dfrac{3}{4} sont des minima globaux.
On en déduit donc le tableau de variations de f :
Quel est le signe de f sur \mathbb{R} ?
f atteint ses minima globaux en x_1 = -\dfrac{1}{\sqrt{2}} et x_2 = \dfrac{1}{\sqrt{2}} et vaut \dfrac{3}{4} > 0 en x_1 et x_2 .
Le signe de f est donc positif sur \mathbb{R} .