Soient deux fonctions f et g définies sur \mathbb{R} telles que :
f(x) = x^3 + x - 2
et
g(x) = x^3 -x^2 - x + 1
On note C_f et C_g les courbes respectives de ces fonctions.
Étudier sur \mathbb{R} les positions relatives des courbes C_f et C_g .
Que vaut la différence f - g ?
La différence des fonctions f et g vaut :
f(x) - g(x) = (x^3 + x - 2) - (x^3 - x^2 - x + 1)
La différence des fonctions f et g vaut donc f(x) - g(x) = x^2 + 2x - 3 .
Quelles sont les valeurs pour lesquelles le polynôme (P) : X^2 + 2X - 3 s'annule ?
Pour trouver les racines d'un polynôme de degré 2, il faut calculer le discriminant \Delta :
\Delta = b^2 - 4ac
Comme le polynôme vaut (P) : X^2 + 2X - 3 , le discriminant s'écrit :
\Delta = (2)^2 - 4 \times 1 \times (-3)
\Delta = 4 + 12 = 16 = (4)^2
Les valeurs en lesquelles le polynôme s'annule sont :
x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}
x_1 = \dfrac{-2 - 4}{2}
x_1 = \dfrac{-6}{2} = - 3
et
x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}
x_2 = \dfrac{-2 + 4}{2}
x_2 = \dfrac{2}{2} = 1
Ainsi, S = \{ -3; 1 \} .
Quel est le signe de la fonction f - g ?
La différence f - g est :
\forall x \in \mathbb{R} , f(x) - g(x) = x^2 + 2x -3
La fonction f -g s'annule en x_1 = -3 et x_2 = 1 et un polynôme du second degré est du signe de a , ici positif, en dehors des racines.
Le signe de f - g est donc négatif sur ]-3; 1[ .
Quelle est la position relative de la courbe de f par rapport à la courbe de g ?
La courbe représentative de la fonction f est au-dessous de la courbe représentative de la fonction g pour tout x tel que :
f(x) \leq g(x)
Or, f - g est négative sur ]-3; 1[ donc :
f(x) \leq g(x), \forall x \in ]-3; 1[
C_f est donc en dessous de C_g sur ]-3; 1[ .
