Donner les équations des éventuelles tangentes horizontales des courbes des fonctions suivantes.
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in \mathbb{R} , f(x) = (2x - 1)^2
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} et on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = 2 \times 2 (2x-1) = 8x - 4
La courbe représentative de f admet une tangente horizontale en un réel x_0 si et seulement si f'(x_0)=0.
On résout :
f'(x)=0
\Leftrightarrow 8x-4=0
\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}
Ainsi, la courbe représentative de f admet une tangente horizontale au point d'abscisse x_0=\dfrac{1}{2}.
Une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse x_0 est :
y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)
Ici, on a :
- x_0=\dfrac{1}{2}
- f'(\dfrac{1}{2})=0
- f(\dfrac{1}{2})=(1-1)^2=0
Ainsi, une équation de la tangente horizontale à la courbe représentative de f est y = 0 .
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in \mathbb{R} , f(x) = x^3 - 2x + 1
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} et on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = 3x^2 - 2
La courbe représentative de f admet une tangente horizontale en un réel x_0 si et seulement si f'(x_0)=0.
On résout :
f'(x)=0
\Leftrightarrow 3x^2 - 2 = 0
\Leftrightarrow 3x^2 = 2
\Leftrightarrow x^2 = \dfrac{2}{3}
\Leftrightarrow x \in \{ - \sqrt{\dfrac{2}{3}} ; \sqrt{\dfrac{2}{3}} \}
Ainsi, la courbe représentative de f admet deux tangentes horizontales aux points d'abscisse x_0 = - \sqrt{\dfrac{2}{3}} et x_1 = \sqrt{\dfrac{2}{3}} .
Une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse x_0 est :
y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)
Ici, on a :
- x_0 = - \sqrt{\dfrac{2}{3}}
- f'(- \sqrt{\dfrac{2}{3}}) = 0
- f(- \sqrt{\dfrac{2}{3}}) = \dfrac{1}{9}( 9 + 4 \sqrt{6})
Donc l'équation de la tangente en x_0 est y = \dfrac{1}{9}( 9 + 4 \sqrt{6}) .
De plus :
- x_1 = \sqrt{\dfrac{2}{3}}
- f'(\sqrt{\dfrac{2}{3}}) = 0
- f(\sqrt{\dfrac{2}{3}}) = \dfrac{1}{9}( 9 - 4 \sqrt{6})
Donc l'équation de la tangente en x_1 est y = \dfrac{1}{9}( 9 - 4 \sqrt{6}) .
Ainsi, des équations de la tangente horizontale à la courbe représentative de f sont y = \dfrac{1}{9}( 9 + 4 \sqrt{6}) et y = \dfrac{1}{9}( 9 - 4 \sqrt{6}) .
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in \mathbb{R}^{\star} , f(x) = \dfrac{1}{x} + x
La fonction f est dérivable sur tout intervalle inclus dans \mathbb{R}^{\star} et on a :
\forall x \in \mathbb{R}^{\star}
f'(x) = -\dfrac{1}{x^2} + 1
f'(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2}
La courbe représentative de f admet une tangente horizontale en un réel x_0 si et seulement si f'(x_0)=0.
On résout :
f'(x) = 0
\Leftrightarrow \dfrac{x^2 - 1}{x^2} = 0
\Leftrightarrow x^2 - 1= 0
\Leftrightarrow x \in \{ - 1 ; 1
Ainsi, la courbe représentative de f admet deux tangentes horizontales aux points d'abscisse x_0 = -1 et x_1 = 1 .
Une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse x_0 est :
y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)
Ici, on a :
- x_0 = - 1
- f'(- 1) = 0
- f(- 1) = -2
Donc l'équation de la tangente en x_0 est y = -2 .
De plus :
- x_1 = 1
- f'(1) = 0
- f(1) = 2
Donc l'équation de la tangente en x_1 est y = 2 .
Ainsi, des équations de la tangente horizontale à la courbe représentative de f sont y = -2 et y = 2 .
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in \mathbb{R} , f(x) = x^2 + 4x + 3
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} et on a :
\forall x \in \mathbb{R}
f'(x) = 2x + 4
La courbe représentative de f admet une tangente horizontale en un réel x_0 si et seulement si f'(x_0)=0.
On résout :
f'(x) = 0
\Leftrightarrow 2x + 4 = 0
\Leftrightarrow x = -2
Ainsi, la courbe représentative de f admet une tangente horizontale au point d'abscisse x_0 = -2 .
Une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse x_0 est :
y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)
Ici, on a :
- x_0 = - 2
- f'(- 2) = 0
- f(- 2) = -1
Ainsi, une équation de la tangente horizontale à la courbe représentative de f est y = -1 .
Soit f la fonction définie par :
\forall x \in \mathbb{R} , f(x) = 5x - 1
f est dérivable sur \mathbb{R} .
On a :
f'(x) = 5
La courbe représentative de f admet une tangente horizontale en un réel x_0 si et seulement si f'(x_0)=0.
Or, f'(x)=5\neq0.
La courbe représentative de f n'admet pas de tangente horizontale.