On souhaite calculer une approximation de \sqrt{2} à l'aide de la méthode de Newton.
De quelle fonction dérivable sur \mathbb{R} \sqrt{2} est-elle un zéro ?
\sqrt{2} est un zéro des fonctions :
f(x) = x^2 - 2
et
f(x) = |x| - \sqrt{2}
Or, f(x) = |x| - \sqrt{2} n'est pas dérivable en 0 .
Ainsi, f(x) = x^2 - 2 .
Quelle est l'équation de la tangente au point x_0 \in \mathbb{R} de la fonction f(x) = x^2 - 2 ?
L'équation de la tangente au point x_0 d'une fonction f dérivable est :
y = f'(x_0) (x - x_0) + f(x_0)
En dérivant f(x) = x^2 - 2 , on a :
f'(x) = 2x
Et en remplaçant dans y :
y = 2 x_0 (x - x_0) + (x_0^2 - 2)
Ainsi, y = 2x x_0 - x_0^2 - 2 .
En quel point la tangente à la fonction f(x) = x^2 - 2 en x_0 coupe-t-elle l'axe des abscisses ?
L'équation de la tangente à f en x_0 est :
y = 2x x_0 - x_0^2 - 2
On cherche à résoudre :
0 = 2x x_0 - x_0^2 - 2 \Leftrightarrow 2x = \dfrac{x_0^2 + 2}{x_0}
0 = 2x x_0 - x_0^2 - 2 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2} \dfrac{x_0^2 + 2}{x_0}
0 = 2x x_0 - x_0^2 - 2 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2} \left( x_0 + \dfrac{2}{x_0} \right)
La tangente à f en x_0 coupe donc l'axe des abscisses au point \left( \dfrac{1}{2} \left(x_0+ \dfrac{2}{x_0} \right) , 0\right) .
Soit un point u_0 \in \mathbb{R} .
On appelle (u_1, 0) l'intersection de la tangente au graphe de f(x) = x^2 - 2 en (u_0, f(u_0)) avec l'axe des abscisses.
Si u_1 \in \mathbb{R} , alors on recommence l'opération avec la tangente au point d'abscisse u_1 .
Quelle est la suite récurrente qui correspond à ce processus ?
Cette suite correspond à la méthode de Newton. On admet qu'elle converge vers \sqrt{2} .
La tangente à f(x) = x^2 - 2 au point u_0 s'écrit :
y = 2x u_0 -u_0^2 -2
Cette tangente coupe l'axe des abscisses au point u_1 = \dfrac{u_0}{2} + \dfrac{1}{u_0} = \dfrac{1}{2} \left( u_0 + \dfrac{2}{u_0} \right) .
On peut recommencer le processus pour déterminer la tangente au point u_1 :
y = 2x u_1 -u_1^2 -2
Cette tangente coupe l'axe des abscisses au point u_2 = \dfrac{u_1}{2} - \dfrac{1}{u_1} = \dfrac{1}{2} \left( u_1 + \dfrac{2}{u_1} \right).
On en déduit donc la forme générale de la suite u_n :
u_0 > 0 , u_{n+1} = \dfrac{1}{2} \left(u_n + \dfrac{2}{u_n} \right)
Quelle est la valeur de u_3 où u est la suite définie par la méthode de Newton qui converge vers le zéro de f(x) = x^2 - 2 en prenant u_0 = 4 ?
On a :
u_0 = 4
u_1 = \dfrac{1}{2} \left( u_0 + \dfrac{2}{u_0} \right) = \dfrac{1}{2} \left( 4 + \dfrac{2}{4} \right) = \dfrac{9}{4} \approx 2{,}25
u_2 = \dfrac{1}{2} \left( u_1 + \dfrac{2}{u_1} \right) = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{9}{4} + \dfrac{2}{\dfrac{9}{4} } \right) = \dfrac{113}{72} \approx 1{,}5694
u_3 = \dfrac{1}{2} \left( u_2 + \dfrac{2}{u_2} \right) = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{113}{72} + \dfrac{2}{\dfrac{113}{72} } \right) = \dfrac{\text{23 137}}{\text{16 272}} \approx 1{,}42189
Ainsi, u_3 = 1{,}42189... .