Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} :
f(x) = \left(\dfrac{3}{4}x-1\right) \times 3x^3
Sur quel intervalle la fonction f est-elle dérivable ?
La fonction f est un produit de fonctions dérivables.
La fonction x \mapsto \left( \dfrac{3}{4}x - 1 \right) est dérivable sur \mathbb{R} .
La fonction x \mapsto 3x^3 est dérivable sur \mathbb{R} .
f est donc dérivable sur \mathbb{R} .
Quelle est la fonction dérivée de la fonction f ?
La fonction f est de la forme f = uv , avec u et v des fonctions dérivables.
Comme :
u(x) = \dfrac{3}{4}x - 1 , u'(x) = \dfrac{3}{4}
Et :
v(x) = 3x^3 , v'(x) = 9x^2
D'après le cours :
f' = u' v + u v'
Donc :
f'(x) = \left( \dfrac{3}{4} \right) \times 3x^3 + \left( \dfrac{3}{4}x - 1 \right) \times 9x^2
f'(x) = \left( \dfrac{9x^3}{4} \right) + \left( \dfrac{27}{4}x^3 - 9x^2 \right)
f'(x) = \left( \dfrac{9x^3}{4} \right) + \left( \dfrac{27}{4}x^3 - 9x^2 \right)
f'(x) = \left(\dfrac{36x^3}{4} \right) - 9x^2
f'(x) = 9x^3 - 9x^2
La fonction dérivée de la fonction f est donc f'(x) = 9(x-1)x^2 .
Sur quel intervalle a-t-on f' < 0 ?
f'(x) = 9(x-1)x^2
f' est du signe de x - 1 car x^2 est toujours positif.
f'(x) < 0 \Leftrightarrow x-1 < 0
f'(x) < 0 \Leftrightarrow x < 1
f' est donc négative sur ]-\infty ; 1[ .
Quel est la tableau de variations de f ?
f' est négative sur \left] -\infty ; 1 \right[ .
Or, la fonction f est décroissante lorsque sa dérivée est négative.
Le tableau de variations de f est donc le suivant :
