Soit la parabole d'équation :
y = 4 - x^2
A est un point de l'axe des abscisses sous la parabole.
B est le point sur la parabole tel que [AB] soit orthogonal à l'axe des abscisses.
C et D sont deux points tels que ABCD soit un rectangle.
Quelle est l'aire du rectangle ABCD en fonction de x ?
Il faut calculer les coordonnées des points A , B , C et D .
A est sur l'axe des abscisses, on note son abscisse x . Alors A(x ; 0) .
B est l'image de x par la parabole, donc B(x ; 4 -x^2) .
C est symétrique de B car la parabole est une fonction paire. Donc C(-x ; 4 -x^2) .
Enfin, D est symétrique de A , donc D(-x; 0) .
Comme ABCD est un rectangle, son aire A(x) est le produit de sa largeur par sa longueur.
Or, AB = 4 - x^2 et BC = 2x .
Donc :
A(x) = AB \times BC
A(x) = 2x(4-x^2)
Ainsi, A(x) = -2x^3 + 8x .
Quelle est la dérivée de l'aire A(x) du rectangle ABCD en fonction de x ?
A(x) se dérive terme à terme :
A'(x) = (-2x^3)' + (8x)'
Ainsi, A'(x) = -6x^2 + 8 .
Pour quelles valeurs de x a-t-on A'(x)=0 ?
Pour calculer les racines de A' , il faut résoudre :
A'(x) = -6x^2 + 8 = 0 \Leftrightarrow 6x^2 = 8
A'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}
A'(x) = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{2}{\sqrt{3}} ou x = \dfrac{2}{\sqrt{3}}
Donc S = \left\{ - \dfrac{2}{\sqrt{3}} ; \dfrac{2}{\sqrt{3}} \right\} .
Le rectangle ABCD est-il un carré lorsque son aire est maximale ?
La fonction A admet un maximum local lorsque sa dérivée A' s'annule. Il existe deux valeurs telles que A'(x) = 0 mais comme une longueur est toujours positive, x = \dfrac{2}{\sqrt{3}} est la seule solution possible. De plus, comme la fonction A' est un polynôme du second degré, elle est du signe de -a, donc positive sur \left[ 0 ; \dfrac{2}{\sqrt{3}} \right] et du signe de a, donc négative quand x \gt \dfrac{2}{\sqrt{3}}.
La fonction A admet donc un maximum global pour x = \dfrac{2}{\sqrt{3}} .
Les différentes longueurs dans ce cas sont :
AB = 4 - x^2 = 4 - \left( \dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^2
AB = 4 - \dfrac{4}{3} = \dfrac{12 - 4}{3}
AB = \dfrac{8}{3}
et
BC = 2x = \dfrac{4}{\sqrt{3}}
Donc AB \neq BC .
ABCD n'est donc pas un carré.