On monte un escalier qui comporte n marches, avec n \leq 100 .
Si on le monte 3 par 3, 4 par 4 ou 5 par 5, on arrive à la dernière marche.
Parmi les propositions suivantes, quelle affirmation est vraie ?
On arrive sur la dernière marche de cet escalier si on les monte 3 par 3.
Ainsi :
n = 3 + 3 + \cdots + 3 = k_1 \times 3
Donc n est divisible par 3.
De même, n est divisible par 4 et par 5.
n est divisible par 3, 4 et 5, et ces nombres n'ont pas de facteurs premiers communs.
Donc n est divisible par 3\times 4\times 5.
Il existe k un entier positif tel que n = 3 \times 4 \times 5 \times k .
Il existe donc k un entier positif tel que n = 60 \times k .
On monte un escalier qui comporte 60 marches.
Si l'on monte 5 marches puis 7, puis 5 marches puis 7, etc., arrive-t-on sur la dernière marche ?
Si l'on arrive sur la dernière marche de cet escalier en montant 5 puis 7 un certain nombre de fois, on a :
60 = (5 + 7) \times k = 12 \times k
12 est bien un diviseur de 60. Si l'on fait 5 fois la succession 5 puis 7 marches, on arrive bien sur la dernière marche.
On arrive donc sur la dernière marche en montant 5 marches puis 7 un nombre fini de fois.
On monte un escalier qui comporte 60 marches.
Si l'on monte 3 marches puis 4, puis 3 marches puis 4, etc., arrive-t-on sur la dernière marche ?
On suppose qu'on arrive sur la dernière marche de l'escalier si l'on monte 3 puis 4 un certain nombre de fois.
3 + 4 = 7 n'est pas un diviseur de 60, on ne peut pas faire une succession de 7 marches directement.
L'entier divisible par 7 le plus proche de 60 est 56. On peut donc monter 56 marches et il en reste 4 à monter. Or, la dernière étape était de monter 4 marches, et il faudrait en monter 4 à nouveau, ce qui est impossible car on ne peut en monter que 3.
On n'arrive donc pas sur la dernière marche en montant 3 marches puis 4 un nombre fini de fois.
On monte un escalier qui comporte 60 marches.
Si l'on monte 4 marches puis 3, puis 4 marches puis 3, etc., arrive-t-on sur la dernière marche ?
Supposons qu'on arrive sur la dernière marche de l'escalier si l'on monte 4 puis 3 un certain nombre de fois.
4 + 3 = 7 n'est pas un diviseur de 60, on ne peut pas faire une succession de 7 marches directement.
L'entier divisible par 7 le plus proche de 60 est 56. On peut donc monter 56 marches et il en reste 4 à monter. Or, la dernière étape était de monter 3 marches, et il faut en monter 4 à nouveau, ce qui est possible dans ce cas.
On arrive donc sur la dernière marche en montant 4 marches puis 3 un nombre fini de fois.
On mange des bonbons dans un sachet qui comporte n bonbons, avec n \leq 25 .
Si on les mange 2 par 2 ou 5 par 5, on finit le paquet.
Quelle affirmation est vraie ?
On finit le paquet de bonbons si on le mange 2 par 2.
Ainsi :
n = 2 + 2 + \cdots + 2 = k_1 \times 2
Donc n est divisible par 2.
De même, n est divisible par 5.
Comme n est divisible par 2 et 5, ces nombres apparaissent dans sa décomposition en facteurs premiers et il existe k un entier positif tel que n = 2 \times 5 \times k .
Il existe donc k un entier positif tel que n = 10 \times k .