On souhaite démontrer que tout nombre qui s'écrit de la forme \overline{abcabc} n'est pas un nombre premier (chaque lettre correspond à un chiffre de son écriture décimale).
La notation avec la barre est là pour signifier « écriture décimale ».
Quels sont les diviseurs premiers de 123 123 ?
Le premier diviseur de 123 123 est 3.
\dfrac{\text{123 123}}{3} = \text{41 041}
En continuant le processus, 7 est un diviseur de 41 041 :
\dfrac{\text{41 041}}{7} = \text{5 863}
11 est un diviseur de 5 863 :
\dfrac{\text{5 863}}{11} = 533
Et enfin, 13 est un diviseur de 533 :
\dfrac{533}{13} = 41
41 est un nombre premier, donc les diviseurs de 123 123 sont :
3, 7, 11, 13, 41
Comment s'écrit \overline{ab} sous forme d'une somme en fonction de a, b \in \mathbb{N} ?
On peut décomposer n'importe quel nombre en base 10. Dans le cas du nombre \overline{ab} , b est le chiffre des unités et a le chiffre des dizaines.
On en déduit donc :
\overline{ab} = b + 10 \times a
Comment s'écrit \overline{abcabc} sous forme d'une somme en fonction de a, b, c \in \mathbb{N} ?
De la même façon, comme on peut décomposer n'importe quel nombre en base 10, on peut décomposer \overline{abcabc} en une somme d'entiers multipliés par des puissances de 10 :
\overline{abcabc} = c + b \times 10 + a \times 100 + c \times \text{1 000} + b \times \text{10 000} + a \times \text{100 000}
En factorisant par a, b, c :
\overline{abcabc} = c \times (1 + \text{1 000}) + b \times (10 + \text{10 000}) + a \times (100 + \text{100 000})
\overline{abcabc} = c \times (\text{1 001}) + b \times (\text{10 010}) + a \times (\text{100 100})
Or :
\text{1 001} = 7 \times 11 \times 13
\text{10 010} = 7 \times 11 \times 13 \times 10
\text{100 100} = 7 \times 11 \times 13 \times 100
On peut factoriser par 7, 11, 13.
Ainsi, \overline{abcabc} = 7 \times 11 \times 13 \times (c + b \times 10 + a \times 100) .
Que peut-on dire de \overline{abcabc} ?
On sait que :
\overline{abcabc} = 7 \times 11 \times 13 \times (c + b \times 10 + a \times 100)
Donc 7, 11 et 13 sont des diviseurs de tous les nombres qui s'écrivent \overline{abcabc} .
Ainsi, \overline{abcabc} n'est jamais un nombre premier.