Pour une soirée, on veut répartir dans des sachets des dragées roses et des dragées bleues, en faisant attention que tous les paquets soient bien identiques, c'est-à-dire avec le même nombre de dragées bleues et de dragées roses.
Il y a 48 dragées bleues, et 60 dragées roses.
Combien peut-on faire, au maximum, de sachets identiques sans laisser de dragées restantes ? Combien de dragées de chaque couleur contiendra alors chaque sachet ?
Soit b le nombre de dragées bleues dans chaque sachet, et B le nombre total de dragées bleues.
Soit N le nombre de sachets.
Pour que toutes les dragées bleues soient dans les sachets, on peut écrire :
On veut que les B dragées bleues soient toutes dans les N sachets, avec b dragées par sachets. Le produit du nombre de sachets par le nombre de dragées bleues par sachet est donc censé être égal au nombre total de dragées.
B = N\times b
Soit b le nombre de dragées bleues dans chaque sachet, et B le nombre total de dragées bleues.
Soit N le nombre de sachets.
Que peut-on en déduire ? (plusieurs réponses possibles)
On dit que a est diviseur de b s'il existe un entier k tel que b = k\times a.
Dans cette situation, on peut prendre :
- a = N, b = B et k = b : N est un diviseur de B.
- a = b, b = B et k = N : b est un diviseur de B.
De la même façon, soient r le nombre de dragées roses dans chaque sachet et R le nombre total de dragées roses.
Que peut-on alors dire ? (plusieurs réponses possibles)
De la même manière, on veut que les R dragées rouges soient toutes dans les N sachets, avec r dragées par sachets. Le produit du nombre de sachets par le nombre de dragées rouges par sachet est donc censé être égal au nombre total de dragées.
R = N\times r
Or, on dit que a est diviseur de b s'il existe un entier k tel que b = k\times a.
Dans cette situation, on peut prendre :
- a = N, b = R et k = r : N est un diviseur de R.
- a = r, b = R et k = N : r est un diviseur de R.
Quel est le plus grand diviseur commun de 48 et 60 ?
48 = 6\times 8 = 2 \times 3 \times2 \times 2 \times 2 = 2^4 \times 3
et
60 = 6 \times 10 = 2 \times 3 \times 2 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5
Le plus grand diviseur commun est donc 2^2 \times 3 = 12.
Par déduction, quel est alors le plus grand nombre de sachets possible ?
Il faut que le nombre de sachets divise à la fois le nombre total de dragées bleues et le nombre total de dragées roses.
Il faut donc que ce soit un diviseur commun.
Or, on cherche le plus grand nombre de sachets possible, donc le plus grand diviseur commun.
On peut maintenant déterminer le nombre de dragées dans chaque sachet.
Complète la phrase suivante avec les nombres appropriés.
On a 12 sachets.
Or, 48=12 \times 4.
On a donc, dans chaque sachet, 4 dragées bleues.
On peut maintenant déterminer le nombre de dragées dans chaque sachet.
Complète la phrase suivante avec les nombres appropriés.
On a 12 sachets.
Or, 60=12 \times 5.
On a donc, dans chaque sachet, 5 dragées roses.