Dans une classe, on a des filles et des garçons.
Il y a deux filles de moins qu'il y a de garçons.
Deux enfants s'amusent à se compter : l'un en trouve 25, l'autre en trouve 26.
On suppose que l'un des deux enfants a raison.
Soient F le nombre de filles et G le nombre de garçons.
Quelle relation peut-on écrire ?
Soient F le nombre de filles et G le nombre de garçons de la classe.
Il y a deux filles de moins que de garçons.
Donc F = G - 2 .
On considère le nombre de filles. Il est soit pair, soit impair. Supposons que le nombre de filles est pair.
Dans le cas où F est pair, que peut-on écrire ?
Dans le cas où un entier est pair, le reste de la division euclidienne du nombre par 2 est égal à 0.
Il existe donc un entier relatif k tel que F = 2k .
D'après la question précédente, que peut-on dire du nombre total d'élèves si F est pair ?
Si F est pair, il existe un entier relatif k tel que F = 2k.
Or, F = G - 2 donc G = F + 2 . En remplaçant par la valeur de F :
G = 2k + 2
Le nombre total d'élèves dans la classe est :
F+G = 2k + (2k + 2) = 4k + 2 = 2 \times (2k + 1)
Le nombre d'élèves de la classe est donc pair.
On considère maintenant l'autre cas, celui où F est impair.
Si F est impair, il existe un entier relatif k tel que F = 2k+1 .
Or, F = G - 2 donc G = F + 2 .
En remplaçant par la valeur de F :
G = 2k+1 + 2=2k+3
Le nombre total d'élèves d'élèves dans la classe est :
F+G = (2k+1) + (2k+3) = 4k+4 = 2 \times (2k+2)
Le nombre d'élèves de la classe est donc pair.
Que peut-on déduire sur le nombre total des élèves de la classe ?
Que F soit pair ou impair, la somme du nombre de filles et de garçons est paire.
On en déduit donc qu'il y a 26 élèves.