Résoudre un problème de géométrie de trois manières distinctes Problème

Soit ABC un triangle quelconque.

Soient E et D les points définis par : \overrightarrow{AE}=\dfrac{5}{3}\overrightarrow{AC} et \overrightarrow{BD}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BA}.

On souhaite démontrer de trois manières différentes que les droites \left(DC\right) et \left(BE\right) sont parallèles.

On utilise le repère \left(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right). Qu'est-ce qui permet de dire que \left(DC\right) et \left(BE\right) sont parallèles ?

\left(-1\right)\times1-\dfrac{1}{2}\times\left(-2\right)=-1+1=0

\dfrac{4}{7}\times-3-3\times\left(-\dfrac{4}{7}\right)=-\dfrac{12}{7}-\left(-\dfrac{12}{7}\right)=-\dfrac{12}{7}+\dfrac{12}{7}=0

-6\times\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}\times\left(-6\right)=-4-\left(-4\right)=-4+4=0

-\dfrac{3}{5}\times\dfrac{5}{3}-\left(-1\right)\times1=-1-\left(-1\right)=-1+1=0

Quelle égalité vectorielle permet de montrer que \left(DC\right) et \left(BE\right) sont parallèles ?

\overrightarrow{DC}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{BE}

3\overrightarrow{CD}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{BE}

\overrightarrow{DC}=-6\overrightarrow{EB}

9\overrightarrow{CD}=-2\overrightarrow{BE}

En quoi la réciproque du théorème de Thalès permet-elle de prouver que les droites \left(DC\right) et \left(BE\right) sont parallèles ?

Car E\in\left[AC\right], D\in\left[BC\right] et \dfrac{CE}{CA}=\dfrac{CD}{CB}.

Car B\in\left[AC\right], E\in\left[AD\right] et \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AD}.

Car C\in\left[AE\right], D\in\left[EB\right] et \dfrac{EC}{EA}=\dfrac{ED}{EB}.

Car D\in\left[AB\right], C\in\left[AE\right] et \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AC}{AE}.