Quelles sont les solutions de l'inéquation \ln{\left(3 x^{2} \right)} - \ln{\left(x + 4 \right)} - \ln{\left(2 \right)} \geq 0 ?
Cette inéquation se résout sur ]-4;+\infty[\backslash\left\{ 0 \right\} afin que \ln\left(3x^{2}\right) et \ln\left(x+4\right) soient définis.
Pour résoudre une inéquation avec des logarithmes, on souhaite avoir un unique logarithme à droite et à gauche de l'inéquation pour utiliser la bijectivité de la fonction x \mapsto \ln(x) .
Pour tout x, y > 0 , on a la propriété suivante pour le logarithme :
\ln\left( \dfrac{x}{y} \right) = \ln \left( x\right) - \ln \left( y\right)
et
\ln\left( xy \right) = \ln \left( x\right) + \ln \left( y\right)
On peut donc simplifier l'inéquation :
\ln{\left(3 x^{2} \right)} - \ln{\left(x + 4 \right)} - \ln{\left(2 \right)} \geq 0 \Leftrightarrow \ln{\left(\frac{3 x^{2}}{ x + 4} \right)} \geq \ln(2)
Comme pour tout x,y > 0 , on a :
\ln(x) \geq \ln(y) \Leftrightarrow x \geq y
\ln{\left(3 x^{2} \right)} - \ln{\left(x + 4 \right)} - \ln{\left(2 \right)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{3 x^{2}}{ x + 4} \geq 2
\ln{\left(3 x^{2} \right)} - \ln{\left(x + 4 \right)} - \ln{\left(2 \right)} \geq 0 \Leftrightarrow 3x^2 \geq 2(x+4)
\ln{\left(3 x^{2} \right)} - \ln{\left(x + 4 \right)} - \ln{\left(2 \right)} \geq 0 \Leftrightarrow 3x^2 -2x - 8 \geq 0
On cherche les racines d'un polynôme du second degré.
\Delta = b^2 - 4ac = 4 + 4 \times 3 \times 8 = 100 = 10^2
On déduit :
x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{2 - 10}{6} = -\dfrac{4}{3}
et
x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{2 + 10}{6} = 2
Le polynôme est positif à l'extérieur des racines.
On en déduit que l'ensemble-solution de cette équation est \left]-4; - \frac{4}{3}\right] \cup \left[2; \infty\right[.
Quelles sont les solutions de l'inéquation \ln{\left(x + 1 \right)} + \ln{\left(x + 4 \right)} - \ln{\left(2 \right)} \geq 0 ?
Cette inéquation se résout sur ]-1 ; +\infty[ afin que \ln\left(x+1\right) et \ln\left(x+4\right) soient définis.
Pour résoudre une inéquation avec des logarithmes, on souhaite avoir un unique logarithme à droite et à gauche de l'inéquation pour utiliser la bijectivité de la fonction x \mapsto \ln(x) .
Pour tout x, y > 0 , on a la propriété suivante pour le logarithme :
\ln\left( xy \right) = \ln \left( x\right) + \ln \left( y\right)
On peut donc simplifier l'inéquation :
\ln{\left(x + 1 \right)} + \ln{\left(x + 4 \right)} - \ln{\left(2 \right)} \geq 0 \Leftrightarrow \ln{\left( (x + 1)(x+4) \right)} \geq \ln(2)
\ln{\left(x + 1 \right)} + \ln{\left(x + 4 \right)} - \ln{\left(2 \right)} \geq 0 \Leftrightarrow \ln{\left( x^2 + 5x + 4 \right)} \geq \ln(2)
Comme pour tout x,y > 0 , on a :
\ln(x) \geq \ln(y) \Leftrightarrow x \geq y
\ln{\left(x + 1 \right)} + \ln{\left(x + 4 \right)} - \ln{\left(2 \right)} \geq 0 \Leftrightarrow x^2 + 5x + 4 \geq 2
\ln{\left(x + 1 \right)} + \ln{\left(x + 4 \right)} - \ln{\left(2 \right)} \geq 0 \Leftrightarrow x^2 + 5x + 2 \geq 0
On cherche sur ]-1 ; +\infty[, les racines d'un polynôme du second degré.
\Delta = b^2 - 4ac = 25 - 4 \times 1 \times 2 = 17
On déduit :
x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-5 - \sqrt{17}}{2} = \dfrac{-5-\sqrt{17}}{2}
et
x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-5 + \sqrt{17}}{2} = \dfrac{-5+\sqrt{17}}{2}
Le polynôme est positif à l'extérieur de ses racines.
Or \dfrac{-5+\sqrt{17}}{2} > -1 .
On en déduit que l'ensemble-solution de cette équation est \left]- 1; +\infty\right[ .
Quelles sont les solutions de l'inéquation - \ln{\left(x \right)} + \ln{\left(2 x \right)} + \ln{\left(6 x \right)} \geq 1 ?
Cette inéquation se résout sur ]0;+\infty[ afin que \ln\left(x\right), \ln\left(2x\right) et \ln\left(6x\right) soient définis.
Pour résoudre une inéquation avec des logarithmes, on souhaite avoir un unique logarithme à droite et à gauche de l'inéquation pour utiliser la bijectivité de la fonction x \mapsto \ln(x) .
Pour tout x, y > 0 , on a la propriété suivante pour le logarithme :
\ln\left( \dfrac{x}{y} \right) = \ln \left( x\right) - \ln \left( y\right)
et
\ln\left( xy \right) = \ln \left( x\right) + \ln \left( y\right)
On peut donc simplifier l'inéquation :
- \ln{\left(x \right)} + \ln{\left(2 x \right)} + \ln{\left(6 x \right)} \geq 1 \Leftrightarrow \ln{\left(\dfrac{12 x^2}{x} \right)} \geq \ln(e)
- \ln{\left(x \right)} + \ln{\left(2 x \right)} + \ln{\left(6 x \right)} \geq 1 \Leftrightarrow \ln{\left(12x \right)} \geq \ln(e)
Comme pour tout x,y > 0 , on a :
\ln(x) \geq \ln(y) \Leftrightarrow x \geq y
- \ln{\left(x \right)} + \ln{\left(2 x \right)} + \ln{\left(6 x \right)} \geq 1 \Leftrightarrow 12x \geq e
- \ln{\left(x \right)} + \ln{\left(2 x \right)} + \ln{\left(6 x \right)} \geq 1 \Leftrightarrow x \geq \dfrac{e}{12}
Puisque \dfrac{e}{12}\gt0, on en déduit que l'ensemble-solution de cette équation est \left[\frac{e}{12}; +\infty\right[ .
Quelles sont les solutions de l'inéquation \ln{\left(x - 5 \right)} - \ln{\left(x - 2 \right)} + \ln{\left(3 \right)} \geq 0 ?
Cette inéquation se résout sur ]5;+\infty[ afin que \ln\left(x-5\right) et \ln\left(x-2\right) soient définis.
Pour résoudre une inéquation avec des logarithmes, on souhaite avoir un unique logarithme à droite et à gauche de l'inéquation pour utiliser la bijectivité de la fonction x \mapsto \ln(x) .
Pour tout x, y > 0 , on a la propriété suivante pour le logarithme :
\ln\left( \dfrac{x}{y} \right) = \ln \left( x\right) - \ln \left( y\right)
et
\ln\left( xy \right) = \ln \left( x\right) + \ln \left( y\right)
On peut donc simplifier l'inéquation :
\ln{\left(x - 5 \right)} - \ln{\left(x - 2 \right)} + \ln{\left(3 \right)} \geq 0 \Leftrightarrow \ln{\left( \dfrac{x - 5}{x-2} \right)} \geq -\ln{\left(3 \right)}
\ln{\left(x - 5 \right)} - \ln{\left(x - 2 \right)} + \ln{\left(3 \right)} \geq 0 \Leftrightarrow \ln{\left( \dfrac{x - 5}{x-2} \right)} \geq \ln{\left(\dfrac{1}{3} \right)}
Comme pour tout x,y > 0 , on a :
\ln(x) \geq \ln(y) \Leftrightarrow x \geq y
\ln{\left(x - 5 \right)} - \ln{\left(x - 2 \right)} + \ln{\left(3 \right)} \geq 0 \Leftrightarrow \dfrac{x - 5}{x-2} \geq \dfrac{1}{3}
\ln{\left(x - 5 \right)} - \ln{\left(x - 2 \right)} + \ln{\left(3 \right)} \geq 0 \Leftrightarrow 3(x - 5) \geq x-2
\ln{\left(x - 5 \right)} - \ln{\left(x - 2 \right)} + \ln{\left(3 \right)} \geq 0 \Leftrightarrow 2x \geq 13
\ln{\left(x - 5 \right)} - \ln{\left(x - 2 \right)} + \ln{\left(3 \right)} \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \dfrac{13}{2}
Puisque \dfrac{13}{2}\gt5, on en déduit que l'ensemble-solution de cette équation est \left[\frac{13}{2}; +\infty\right[ .
Quelles sont les solutions de l'inéquation \ln{\left(x - 3 \right)} - \ln{\left(x - 2 \right)} - 2 \ln{\left(2 \right)} \geq 0 ?
Cette inéquation se résout sur ]3;+\infty[ afin que \ln\left(x-3\right) et \ln\left(x-2\right) soient définis.
Pour résoudre une inéquation avec des logarithmes, on souhaite avoir un unique logarithme à droite et à gauche de l'inéquation pour utiliser la bijectivité de la fonction x \mapsto \ln(x) .
Pour tout x, y > 0 , on a la propriété suivante pour le logarithme :
\ln\left( \dfrac{x}{y} \right) = \ln \left( x\right) - \ln \left( y\right)
et
\ln\left( xy \right) = \ln \left( x\right) + \ln \left( y\right)
On peut donc simplifier l'inéquation :
\ln{\left(x - 3 \right)} - \ln{\left(x - 2 \right)} - 2 \ln{\left(2 \right)} \geq 0 \Leftrightarrow \ln{\left( \dfrac{x - 3}{x-2} \right)} \geq \ln{\left(4 \right)}
Comme pour tout x,y > 0 , on a :
\ln(x) \geq \ln(y) \Leftrightarrow x \geq y
\ln{\left(x - 3 \right)} - \ln{\left(x - 2 \right)} - 2 \ln{\left(2 \right)} \geq 0 \Leftrightarrow \dfrac{x - 3}{x-2} \geq 4
\ln{\left(x - 3 \right)} - \ln{\left(x - 2 \right)} - 2 \ln{\left(2 \right)} \geq 0 \Leftrightarrow x-3 \geq 4x-8
\ln{\left(x - 3 \right)} - \ln{\left(x - 2 \right)} - 2 \ln{\left(2 \right)} \geq 0 \Leftrightarrow 5 \geq 3x
\ln{\left(x - 3 \right)} - \ln{\left(x - 2 \right)} - 2 \ln{\left(2 \right)} \geq 0 \Leftrightarrow x \leq \dfrac{5}{3}
Or, cette équation n'est définie que pour x > 2 or \dfrac{5}{3}\lt2.
On déduit que les solutions de cette équation sont \varnothing .