Déterminer une limite d'une fonction à l'aide de la limite de ln(x)/x^n en +infini Exercice

On a :
 \frac{3 \ln{\left(x \right)}}{(x - 1)^3}  = \frac{3 \ln{\left(x \right)}}{x^3} \times \frac{x^3}{(x-1)^3} = \frac{3 \ln{\left(x \right)}}{x^3} \times \left( \frac{x}{x-1} \right)^3

Par croissance comparée, on sait que :
  \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln{\left(x \right)}}{x^3} = 0
et
\lim\limits_{x \to +\infty} \left( \dfrac{x}{x-1} \right)^3 = \lim\limits_{x \to +\infty} \left( \dfrac{1}{1-\dfrac{1}{x}} \right)^3 =1

Ainsi :
\lim\limits_{x \to +\infty}  \frac{3 \ln{\left(x \right)}}{x - 1} =3 \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln{\left(x \right)}}{x^3} \lim\limits_{x \to +\infty} \left( \frac{x}{x-1} \right)^3
\lim\limits_{x \to +\infty}  \frac{3 \ln{\left(x \right)}}{x - 1} = 3 \times 0 \times 1

On a :
- x^2 + \ln(x+1) - 1 = (x+1)^2 \times \left(- \left( \dfrac{x}{x+1} \right)^2 + \dfrac{\ln(x+1)}{(x+1)^2} - \dfrac{1}{(x+1)^2} \right)

Par croissance comparée, on sait que :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^2} = 0

Ainsi : 
\lim\limits_{x \to 0} - x^2 + \ln(x+1) - 1 = \lim\limits_{x \to +\infty}(x+1)^2 \times \left(- \left( \dfrac{x}{x+1} \right)^2 + \dfrac{\ln(x+1)}{(x+1)^2} - \dfrac{1}{(x+1)^2} \right)

Or :
\lim\limits_{x \to +\infty} - \left( \dfrac{x}{x+1} \right)^2 =\lim\limits_{x \to +\infty} - \left( \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x}} \right)^2 = -1
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x+1)}{(x+1)^2} = 0
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{(x+1)^2} = 0

Donc :
\lim\limits_{x \to 0} - x^2 + \ln(x+1) - 1 = \lim\limits_{x \to +\infty}(x+1)^2 \times (-1)

On a :
x^5 + \ln(x+2) - 3 = (x+2)^5 \times \left(\left( \dfrac{x}{x+2} \right)^5 + \dfrac{\ln(x+2)}{(x+2)^5} - \dfrac{3}{(x+2)^5} \right)

Par croissance comparée, on sait que :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^5} = 0

Ainsi :
\lim\limits_{x \to +\infty} x^5 + \ln(x+2) - 3 = \lim\limits_{x \to +\infty}(x+2)^5 \times \left( \left( \dfrac{x}{x+2} \right)^5 + \dfrac{\ln(x+2)}{(x+2)^5} - \dfrac{3}{(x+2)^5} \right)

Or :
\lim\limits_{x \to +\infty} \left( \dfrac{x}{x+2} \right)^5 = \lim\limits_{x \to +\infty} \left( \dfrac{1}{1+\dfrac{2}{x}} \right)^5 =1
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x+2)}{(x+2)^5} = 0
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{-3}{(x+2)^5} = 0

Donc :
\lim\limits_{x \to +\infty} x^5 + \ln(x+2) - 3 = \lim\limits_{x \to +\infty}(x+2)^5 \times 1 

On a :
 - 3 x^4 + \ln{\left(x \right)} = -x^4 \left( 3 - \dfrac{\ln(x)}{x^4} \right)

Par croissance comparée, on sait que \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^4} =0 .

Ainsi :
\lim\limits_{x \to +\infty} - 3 x^4 + \ln{\left(x \right)} = \lim\limits_{x \to +\infty} -x^4 \left( 3 - \dfrac{\ln(x)}{x^4} \right) 
\lim\limits_{x \to +\infty} - 3x^4 + \ln{\left(x \right)} = \lim\limits_{x \to +\infty} -3x^4

On a :
 \dfrac{x^3}{2} + x \ln{\left(x \right)} = x^3 \left( \dfrac{1}{2} + \dfrac{\ln(x)}{x^2} \right)

Par croissance comparée, on sait que \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^2} =0 .

Ainsi : 
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x^3}{2} + x \ln{\left(x \right)} = \lim\limits_{x \to +\infty} x^3 \left( \dfrac{1}{2} + \dfrac{\ln(x)}{x^2} \right) 
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x^3}{2} + x \ln{\left(x \right)} = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x^3}{2}