Quelle est la limite en 0 de la fonction f définie sur \mathbb{R}_+^\star par f(x)= - x^2 \ln(x) ?
On a :
f(x) = - x^2 \ln(x)
On connaît la limite de x\ln(x) en 0.
On cherche donc à comparer f(x) à x\ln(x) au voisinage de 0.
On sait que pour tout x \in [0;1].
x^2 \leqslant x
Donc :
\forall x \in [0;1] -x^2\ln(x) \leqslant -x\ln(x)
Car, \ln est négative entre 0 et 1.
\ln étant négative entre 0 et 1, on a :
\forall x \in [0;1] 0 \leqslant -x^2\ln(x)
Donc :
\forall x \in [0;1] 0 \leqslant -x^2\ln(x) \leqslant -x\ln(x)
Or :
\lim\limits_{x \to 0 \atop x \gt 0} x\ln(x) = 0
Donc :
\lim\limits_{x \to 0 \atop x \gt 0} -x\ln(x) = 0
Or :
\lim\limits_{x \to 0 \atop x \gt 0} 0 = 0
Donc, d'après le théorème des gendarmes : \lim\limits_{x \to 0 \atop x \gt 0} -x^2\ln(x) = 0 .
Quelle est la limite en 0 de la fonction f(x)= \dfrac{2}{x} - x \ln(x) définie sur \mathbb{R}_+^\star ?
On a :
f(x)= \dfrac{2}{x} - x \ln(x)
On connaît la limite de x\ln(x) en 0.
\lim\limits_{x \to 0 \atop x \gt 0} x\ln(x) = 0
De plus :
\lim\limits_{x \to 0 \atop x \gt 0} \dfrac{2}{x} = +\infty
On en déduit par différence : \lim\limits_{x \to 0 \atop x \gt 0} f(x) = + \infty .
Quelle est la limite en 0 de la fonction f(x)= \sin(x) - x \ln(x) définie sur \mathbb{R}_+^\star ?
On a :
f(x) = \sin(x)-x \ln(x)
On connaît la limite de x\ln(x) en 0.
\lim\limits_{x \to 0 \atop x \gt 0} x\ln(x) = 0
Or, la fonction \text{sin} est continue en 0 et \lim\limits_{x \to 0 \atop x \gt 0} \sin(x) = \sin(0)=0 .
Donc par différence : \lim\limits_{x \to 0 \atop x \gt 0} f(x) = 0 .
Quelle est la limite en 0 de la fonction suivante f définie sur \mathbb{R}_+^\star par f(x)= 3e^x +2 x \ln(x) ?
On a :
f(x)= 3e^x +2 x \ln(x)
On connaît la limite de x\ln(x) en 0.
\lim\limits_{x \to 0 \atop x \gt 0} x\ln(x) = 0
Donc :
\lim\limits_{x \to 0 \atop x \gt 0} 2x\ln(x) = 0
De plus, x\mapsto 3e^x est continue en 0, donc :
\lim\limits_{x \to 0 \atop x \gt 0} 3e^x = 3e^0 = 3
Donc \lim\limits_{x \to 0 \atop x \gt 0} f(x) = 3 .
Quelle est la limite en +\infty de la fonction suivante f définie sur \mathbb{R}_+^\star par f(x)= \dfrac{1}{x} \ln\left(\dfrac{1}{x}\right) ?
On a :
f(x)= \dfrac{1}{x} \ln\left(\dfrac{1}{x}\right)
On connaît la limite de x\ln(x) en 0.
\lim\limits_{x \to 0 \atop x \gt 0} x\ln(x) = 0
On pose X = \dfrac{1}{x}.
Ainsi :
\lim\limits_{x \to +\infty } x = \lim\limits_{X \to 0 \atop X \gt 0} X
\lim\limits_{x \to +\infty } \dfrac{1}{x} \ln\left(\dfrac{1}{x}\right) = \lim\limits_{X \to 0 \atop X \gt 0} X\ln(X) = 0
Donc \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0 .