Quelle est la limite en +\infty de la fonction f définie sur \mathbb{R_+^\star} par f(x)= \dfrac{ \ln(x) } {e^x} ?
On a :
f(x)= \dfrac{ \ln(x) } {e^x}
On connaît la limite de \dfrac{ \ln(x) } {x} en +\infty.
On cherche donc à comparer f(x) à \dfrac{ \ln(x) } {e^x} au voisinage de +\infty.
On sait que pour tout x \geqslant 1
e^x \geqslant x
Donc :
\forall x \geqslant 1, \dfrac{ \ln(x) } {x} \geqslant \dfrac{ \ln(x) } {e^x}
De plus, \forall x \geqslant 1, \dfrac{ \ln(x) }{e^x} \geqslant 0.
Donc :
\forall x \geqslant 1,\dfrac{ \ln(x) }{x} \geqslant \dfrac{ \ln(x) }{e^x} \geqslant 0
Or :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0
Et :
\lim\limits_{x \to +\infty} 0 = 0
Donc, d'après le théorème des gendarmes : \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0 .
Quelle est la limite en +\infty de la fonction définie sur \mathbb{R_+^\star} par f(x)= \dfrac{ \ln(x) } {x^4} ?
On a :
f(x)= \dfrac{ \ln(x) } {x^4}
On connaît la limite de \dfrac{ \ln(x) } {x} en +\infty.
On cherche donc à comparer f(x) à \dfrac{ \ln(x) } {x^4} au voisinage de +\infty.
On sait que pour tout x \geqslant 1
x^4 \geqslant x
Donc :
\forall x \geqslant 1, \dfrac{ \ln(x) } {x^4} \leqslant \dfrac{ \ln(x) } {x}
De plus, \forall x \geqslant 1, \dfrac{ \ln(x) }{x^4} \geqslant 0.
Donc :
\forall x \geqslant 1,\dfrac{ \ln(x) }{x} \geqslant \dfrac{ \ln(x) }{x^4} \geqslant 0
Or :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0
Et :
\lim\limits_{x \to +\infty} 0 = 0
Donc, d'après le théorème des gendarmes : \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0 .
Quelle est la limite en +\infty de la fonction définie sur \mathbb{R_+^\star} par f(x)= \dfrac{ \ln(x) } {x} + 4x^2 ?
On a :
f(x)= \dfrac{ \ln(x) } {x} + 4x^2
On connaît la limite de \dfrac{ \ln(x) } {x} en +\infty.
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{ \ln(x) } {x} = 0
De plus :
\lim\limits_{x \to +\infty} 4x^2 = +\infty
Donc par somme : \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty .
Quelle est la limite en +\infty de la fonction définie sur \mathbb{R_+^\star} par f(x)= \dfrac{ \ln(x) } {x} + \dfrac{1}{x} ?
On a :
f(x)= \dfrac{ \ln(x) } {x} + \dfrac{1}{x}
On connaît la limite de \dfrac{ \ln(x) } {x} en +\infty.
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{ \ln(x) } {x} = 0
De plus :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0
Donc \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0 .
Quelle est la limite en 0 de la fonction définie sur \mathbb{R_+^\star} par f(x)= x\ln\left(\dfrac{1}{x}\right) ?
On a :
f(x)= x\ln\left(\dfrac{1}{x}\right)
On connaît la limite de \dfrac{ \ln(x) } {x} en +\infty.
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{ \ln(x) } {x} = 0
On pose X = \dfrac{1}{x}.
Ainsi :
\lim\limits_{x \to 0 \atop x \gt 0} x = \lim\limits_{X \to + \infty} X
\lim\limits_{x \to 0 \atop x \gt 0} x\ln\left(\dfrac{1}{x}\right) = \lim\limits_{X \to + \infty} \dfrac{\ln(X)}{X}=0
Donc \lim\limits_{x \to 0 \atop X \gt 0} f(x) = 0 .