Démontrer le calcul de la fonction dérivée de la fonction logarithme népérien, la dérivabilité étant admise - Tle - Exercice Mathématiques

Quel est le taux d'accroissement \tau_{x, x+h} de la fonction \ln entre x et x +h ?

\tau_{x, x+h} = \dfrac{\ln(x+h) − \ln(x)}{h}

\tau_{x, x+h} = \dfrac{\ln(x+h) + \ln(x)}{h}

\tau_{x, x+h} = \dfrac{\ln(x+h) − \ln(x)}{x+h}

\tau_{x, x+h} = \dfrac{\ln(x) − \ln(x+h)}{h}

Soit x_0, h \in \mathbb{R}_+^* .
On pose y_0 = \ln(x_0) et H = \ln(x_0 + h) - y_0 .

Que vaut h en fonction de y_{0} et de H ?

h = \exp(y_0) \left(\exp(H) − 1 \right)

h = \exp(H) \left(\exp(y_0) − 1 \right)

h = \left(\exp(H) − \exp(y_0) \right)

h = \ln(H) \left(\exp(H) − y_0 \right)

On pose y_{0}=\ln(x_{0}) et H=\ln(x_{0}+h)-y_{0}.

Que vaut le taux d'accroissement \tau_{x, x+h} de la fonction \ln entre x_0 et x_0 +h en fonction de H et y_0 ?

\tau_{x_0, x_0+h} = \dfrac{H}{\exp(H) − 1} \times \dfrac{1}{\exp(y_0)}

\tau_{x_0, x_0+h} = \dfrac{H}{\exp(H) − \exp(y_0)} \times \dfrac{1}{y_0}

\tau_{x_0, x_0+h} = \dfrac{H}{\exp(H) − \ln(H)} \times \dfrac{1}{y_0}

\tau_{x_0, x_0+h} = \dfrac{H}{\exp(H) + 1} \times \dfrac{1}{\exp(y_0)}

Quelle est la limite du taux d'accroissement \tau_{x_0, x_0+h} de la fonction \ln entre x_0 et x_0 +h ?

\lim\limits_{h \to 0} \tau_{x_0, x_0+h} = \dfrac{1}{x_0}

\lim\limits_{h \to 0} \tau_{x_0, x_0+h} = \dfrac{1}{y_0}

\lim\limits_{h \to 0} \tau_{x_0, x_0+h} = \dfrac{1}{H}

\lim\limits_{h \to 0} \tau_{x_0, x_0+h} =x_0

Quelle est la dérivée de \ln sur \mathbb{R}_+^* ?

\ln'(x) = \dfrac{1}{x}

\ln'(x) = \dfrac{1}{x^2}

\ln'(x) = \exp(x)

\ln'(x) =x