Résoudre un problème à l'aide des propriétés des fonctions exponentielle et logarithme Problème

On considère l'équation :
(E_1) : \exp(x) - x^n = 0
où x est un réel strictement positif et n un entier naturel non nul.

On cherche les valeurs de n pour lesquelles (E_1) admet deux solutions.

À quelle équation (E_1) est-elle strictement équivalente ?

(E_2) : \ln(x) − \dfrac{x}{n} = 0

(E_2) : \ln(x) + \dfrac{x}{n} = 0

(E_2) : \ln(x) − \dfrac{n}{x} = 0

(E_2) : \ln(x) + \dfrac{n}{x} = 0

On note f_n(x) = \ln(x) - \dfrac{x}{n} .

Quelle est la dérivée de f_n ?

f_n'(x) = \dfrac{n-x}{xn}

f_n'(x) = \dfrac{x+n}{xn}

f_n'(x) = \dfrac{xn}{x+n}

f_n'(x) = \dfrac{xn}{x-n}

Quel est le tableau de variations de f_n ?

Pour quelles valeurs de n l'équation (E_1) admet-elle deux solutions ?

n \geq 2

n \geq 3

n \geq 4

n \geq 5