Dans cette question, on s'intéresse à la fonction f définie sur \mathbb{R}_+^\star par f(x) = \dfrac{5}{2}x^2 -4x -\ln(x) .
Quel est l'ensemble de dérivabilité de la fonction f ?
La fonction f est définie en tant que somme de deux fonctions :
- x \mapsto \dfrac{5}{2}x^2-4x est une fonction polynomiale donc dérivable sur \mathbb{R}.
- x\mapsto -\ln(x) est l'opposé de la fonction logarithme népérien qui, par définition est dérivable sur \mathbb{R}_+^*.
L'ensemble de dérivabilité de la somme de deux fonctions est l'intersection des ensembles de dérivabilité des deux fonctions.
Ici, \mathbb{R} \cap \mathbb{R}_+^\star = \mathbb{R}_+^\star .
L'ensemble de dérivabilité de f est donc \mathbb{R}_+^\star.
Quelle est l'expression de f', la dérivée de f sur l'ensemble de dérivabilité de f ?
La fonction f est définie comme la somme d'une fonction polynomiale et d'une fonction logarithmique, que l'on sait dériver.
Ainsi, on peut directement déterminer pour tout x \in \mathbb{R}_+^\star :
f'(x) = 2\times \dfrac{5}{2}x -4 -\dfrac{1}{x} = \dfrac{5x²-4x-1}{x}
Pour tout x \in \mathbb{R}_+^\star, on a donc f'(x) = \dfrac{5x²-4x-1}{x} .
Comment évolue le signe de f' sur \mathbb{R}_+^\star ?
On rappelle que pour tout x \in \mathbb{R}_+^\star :
f'(x) = \dfrac{5x^2-4x-1}{x}
Pour tout x \in \mathbb{R}_+^\star on a :
x>0
Ainsi, f' est du signe de 5x^2-4x-1 sur \mathbb{R}_+^\star.
5x^2-4x-1 est un polynôme du second degré.
Calcul du discriminant :
\Delta = b^2-4ac = 16 -4\times (-1) \times 5 = 36
Calcul des racines :
x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{4-6}{10}=-\dfrac{1}{5}
x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{4+6}{10}=1
Signe du polynôme :
Un polynôme du second degré est du signe de a à l'extérieur de l'intervalle délimité par ses racines et du signe de -a à l'intérieur.
Ainsi, le polynôme 5x^2-4x+1=0 est positif sur \left]-\infty ; -\dfrac{1}{5}\right] et sur [1 ; +\infty [ et négatif sur \left[-\dfrac{1}{5};1\right].
Finalement, en rassemblant ces informations, on a :
- f' est négative sur ]0;1 ] .
- f' est positive sur ]1 ; +\infty [.
Quel est le tableau de variations complet de la fonction f ?
On a déterminé le signe de la dérivée de f à la question précédente.
On peut en déduire les variations de f sur \mathbb{R}_+^* :
- f est décroissante sur ]0;1 ] .
- f est croissante sur ]1 ; +\infty [.
Afin de compléter le tableau de variations de f, on a besoin des limites de f en 0 et en +\infty ainsi que de la valeur de f(1).
Limite en 0 :
On sait :
\(\displaystyle\lim \limits_{x \to 0} \left(\dfrac{5}{2}x^2-4x \right)= 0 \)
\(\displaystyle\lim \limits_{x \to 0} -\ln(x) = +\infty \)
Il n'y a pas de forme indéterminée ici.
Par somme :
\(\displaystyle\lim \limits_{x \to 0} f(x) = +\infty \)
Limite en +\infty :
\(\displaystyle\lim \limits_{x \to +\infty} \left(\dfrac{5}{2}x^2-4x\right) = +\infty \)
\(\displaystyle\lim \limits_{x \to +\infty} -\ln(x) = -\infty \)
Il y a une forme indéterminée, ici. Pour la lever, on factorise par x, ce qui fera apparaître \dfrac{\ln(x)}{x} dont on connaît la limite.
Pour tout réel x>0 , on a :
f(x)=x\left(\dfrac{5}{2}x-4-\dfrac{\ln(x)}{x}\right)
\(\displaystyle\lim \limits_{x \to +\infty} \left(\dfrac{5}{2}x-4\right) = +\infty \)
D'après le résultat du cours, on a :
\(\displaystyle\lim \limits_{x \to +\infty} -\dfrac{\ln(x)}{x} = 0 \)
Par somme, on obtient :
\(\displaystyle\lim \limits_{x \to +\infty} \left(\dfrac{5}{2}x-4-\dfrac{\ln(x)}{x}\right) = +\infty \)
Or :
\(\displaystyle\lim \limits_{x \to +\infty} x = +\infty \)
Par produit, on en déduit :
\(\displaystyle\lim \limits_{x \to +\infty}f(x) = +\infty \)
Calcul de f(1) :
f(1)=\dfrac{5}{2} \times 1^2 -4 \times 1 -ln(1) = \dfrac{5}{2} -4 = - \dfrac{3}{2}
On peut finalement déduire que le tableau de variations de f est le suivant :
