Polynésie, 2014
On considère la suite \left(u_{n}\right) définie par :
u_{0} = 0\quad \text{et, pour tout entier naturel }\:n, u_{n+1} = u_{n} + 2n +2.
Quelles sont les valeurs de u_{1} et u_{2} ?
On considère les deux algorithmes suivants :
De ces deux algorithmes, lequel permet d'afficher en sortie la valeur de u_{n}, la valeur de l'entier naturel n étant entrée par l'utilisateur ?
À l'aide de l'algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où n figure en abscisse et u_{n} en ordonnée.
Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite \left(u_{n}\right) ?
La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l'existence de trois réels a, b et c tels que, pour tout entier naturel n,\: u_{n} = an^2 + bn + c.
Dans le cadre de cette conjecture, quelles sont les valeurs de a, b et c ?