Des amis habitent Strasbourg et préparent leurs vacances.
Cette année, ils ont décidé de partir découvrir une grande ville française pendant une semaine.
Pour s'y rendre, ils louent une voiture. Une fois arrivés sur place, ils feront ensuite tous leurs trajets à pied ou en transports en commun.
Une agence de location de voitures propose les trois formules suivantes pour une location sur une semaine :
Tableau indicatif des distances (en km) entre des villes françaises
Exemple : La distance la plus courte entre Nantes et Grenoble est de 741 km.
PARTIE A
Les amis souhaitent se rendre à Marseille. Ils ont un budget de 1 000 € pour le voyage.
Quelle distance, en km, vont-ils parcourir pour le trajet aller-retour ?
D'après le tableau indicatif des distances, la distance entre Marseille et Strasbourg est de 803 km.
Pour l'aller et le retour, on aura donc une distance totale égale à :
803 \times 2 = 1\ 606 \text{ km}
La distance que les amis vont parcourir pour le trajet aller-retour est de 1 606 km.
En choisissant la formule B, combien coûtera la location de voiture ?
La formule B est la suivante :
- forfait fixe de 300 € ;
- puis 0,25 € pour chaque kilomètre parcouru.
La distance à parcourir est de 1 606 km.
Le coût sera donc, en euros, de :
300 + 0{,}25 \times 1\ 606
On obtient :
300 + 401{,}50
Cela donne finalement 701,50 €.
En choisissant la formule B, la location de voiture coûtera 701,50 €.
Quelle est la formule la plus avantageuse ?
On remarque que 701,50 est inférieur à 900.
Donc le prix payé avec la formule B est inférieur à celui payé avec la formule C.
Avec la formule A, le prix payé serait, en euros, de :
1\606 \times 0{,}5 = 803
On remarque que 701,50 est inférieur à 803.
Donc le prix payé avec la formule B est est inférieur à celui payé avec la formule A.
Par conséquent, la formule la plus avantageuse est la formule B.
La formule la plus avantageuse est la formule B.
Voici des informations pour le voyage :
Leur budget sera-t-il suffisant ?
La voiture doit faire 1 606 km.
Or, on sait que la consommation de la voiture est de 5,6 L pour 100 km.
On en déduit que la voiture va consommer, en L :
\dfrac{1\ 606\times5{,}6}{100}=89{,}936
On sait de plus que le prix moyen du carburant est de 1,87 € par litre.
On en déduit que le coût du carburant sera, en euros, de :
1{,}87 \times 89{,}936 = 168{,}18032
En arrondissant au centime près, on obtient 168,18 €.
Enfin, on ajoute le coût total pour les péages, à savoir 115,80 €.
Le coût total du voyage sera par conséquent de :
701{,}50 \text{ €} + 168{,}18 \text{ €} + 115{,}80 \text{ €}
On obtient 985,48 €.
Le budget est de 1 000 €.
On remarque que 985,48 est inférieur à 1 000.
On en conclut que le budget est suffisant pour ce voyage.
Oui, leur budget sera suffisant.
PARTIE B
Étude des formules
Soit x le nombre de kilomètres parcourus.
Quelle est l'expression en fonction de x du prix payé avec la formule A ?
L'expression en fonction de x du prix payé avec la formule A est 0{,}5x.
Soit x le nombre de kilomètres parcourus.
Quelle est l'expression en fonction de x du prix payé avec la formule B ?
L'expression en fonction de x du prix payé avec la formule B est 0{,}25x+300.
Soit x le nombre de kilomètres parcourus.
Quelle est l'expression en fonction de x du prix payé avec la formule C ?
L'expression en fonction de x du prix payé avec la formule C est 900.
On a représenté ci-après, pour chacune des formules, le coût de la location (en euros) en fonction de la distance parcourue (en kilomètres).
À quelle formule correspond la courbe 1 ?
Pour la formule C, on a l'expression d'une fonction constante égale à 900.
Sa courbe représentative est donc une droite horizontale.
Or, seule la courbe 1 est une droite horizontale.
Donc la courbe 1 correspond à la formule C.
La courbe 1 correspond à la formule C.
À quelle formule correspond la courbe 2 ?
Pour la formule B, on a l'expression d'une fonction affine non linéaire.
Sa courbe représentative est donc une droite qui ne passe pas par l'origine du repère.
L'ordonnée à l'origine est égale à 300.
Donc la droite doit passer par le point de coordonnées (0 ; 300).
Or, seule la courbe 2 est une droite passant par ce point.
Donc la courbe 2 correspond à la formule B.
La courbe 2 correspond à la formule B.
À quelle formule correspond la courbe 3 ?
Pour la formule A, on a l'expression d'une fonction linéaire.
Sa courbe représentative est une droite passant par l'origine du repère.
Or, seule la courbe 3 est une droite passant par l'origine du repère.
Donc la courbe 3 correspond à la formule A.
La courbe 3 correspond à la formule A.
Quelle est la solution de l'équation 0{,}25x +300 = 0{,}5x ?
On résout l'équation 0{,}25x +300 = 0{,}5x de la manière suivante :
0{,}25x +300\textcolor{Red}{-0{,}5x} = 0{,}5x\textcolor{Red}{-0{,}5x}
-0{,}25x +300 =0
-0{,}25x +300\textcolor{Red}{-300} =0\textcolor{Red}{-300}
-0{,}25x=-300
0{,}25x=300
\dfrac{0{,}25x}{\textcolor{Red}{0{,}25}}=\dfrac{300}{\textcolor{Red}{0{,}25}}
x=1\ 200
La solution de l'équation est 1 200.
La solution de l'équation 0{,}25x +300 = 0{,}5x est 1 200.
Que signifie la solution de l'équation 0{,}25x +300 = 0{,}5x ?
Dans l'équation 0{,}25x +300 = 0{,}5x :
- le membre de gauche correspond à l'expression de la formule B ;
- le membre de droite correspond à l'expression de la formule A.
La solution de cette équation est 1 200.
Cela signifie donc que pour 1 200 km parcourus, le prix payé est le même avec la formule B et avec la formule A.
La solution de l'équation 0{,}25x +300 = 0{,}5x signifie que, pour 1 200 km parcourus, le prix payé avec la formule B est le même que celui avec la formule A.
Si la distance parcourue est de 2 500 km, quelle formule doit-on choisir pour payer le moins cher ?
On peut procéder par lecture graphique.
Pour 2 500 km parcourus, c'est la courbe 1 qui est sous les deux autres.
Or, la courbe 1 correspond à la formule C.
On en déduit que c'est la formule C qui est la plus avantageuse.
Si la distance parcourue est de 2 500 km, on doit choisir la formule C pour payer le moins cher.
Pour quelle distance parcourue la formule A est-elle la plus intéressante ?
Pour que la formule A soit la plus intéressante, il faut que la courbe 3 soit en dessous des courbes 1 et 2.
C'est le cas pour les abscisses comprises entre 0 et 1 200.
Or, seul 800 est compris entre 0 et 1 200.
Par conséquent, la formule A est la plus intéressante pour 800 km parcourus.
La formule A est la plus intéressante pour 800 km parcourus.
Quelle formule est la plus intéressante pour une distance comprise entre 0 km et 1 200 km ?
Pour une distance comprise entre 0 km et 1 200 km, la courbe 3 est en dessous des courbes 1 et 2.
Or, la courbe 3 correspond à la formule A.
Par conséquent, pour une distance comprise entre 0 et 1 200 km, c'est la formule A qui est la plus avantageuse.
Pour une distance comprise entre 0 et 1 200 km, c'est la formule A qui est la plus avantageuse.
Quelle formule est la plus intéressante pour une distance comprise entre 1 200 km et 2 400 km ?
Pour une distance comprise entre 1 200 km et 2 400 km, la courbe 2 est en dessous des courbes 1 et 3.
Or, la courbe 2 correspond à la formule B.
Par conséquent, pour une distance comprise entre 1 200 et 2 400 km, c'est la formule B qui est la plus avantageuse.
Pour une distance comprise entre 1 200 et 1 400 km, c'est la formule B qui est la plus avantageuse.
Quelle formule est la plus intéressante pour une distance comprise entre 2 400 km et 2 600 km ?
Pour une distance comprise entre 2 400 km et 2 600 km, la courbe 1 est en dessous des courbes 2 et 3.
Or, la courbe 1 correspond à la formule C.
Par conséquent, pour une distance comprise entre 2 400 et 2 600 km, c'est la formule C qui est la plus avantageuse.
Pour une distance comprise entre 1 200 et 1 400 km, c'est la formule B qui est la plus avantageuse.