Pour se promener le long d'un canal, deux sociétés proposent une location de bateaux électriques.
Les bateaux se louent pour un nombre entier d'heures.
Étude du tarif proposé par la société A
Pour la société A, le prix à payer en fonction de la durée de location en heures est donné par le graphique suivant.
Répondre aux questions ci-après à l'aide du graphique.
Quel prix va-t-on payer en louant un bateau pour 2 heures ?
On regarde l'ordonnée du point de la droite qui a pour abscisse 2.
On lit 60 €.
En louant un bateau pour 2 heures, on va payer 60 €.
On dispose d'un budget de 100 €.
Combien d'heures entières peut-on louer un bateau ?
On regarde l'ordonnée du point de la droite qui a pour ordonnée 100.
On lit un nombre compris entre 3 et 4.
On pourra donc louer un bateau pendant 3 heures.
Avec un budget de 100 €, on peut louer un bateau pendant 3 heures.
Le prix est-il proportionnel à la durée de location ?
La droite représentant le prix en fonction de la durée de location passe par l'origine du repère.
Il s'agit donc d'une situation de proportionnalité.
Oui, le prix est proportionnel à la durée de location.
Quel est le prix à payer pour une durée de location de 10 heures ?
On sait que pour 2 heures de location, le prix à payer est de 60 €.
Or, le prix est proportionnel à la durée de location.
Donc pour une durée 5 fois plus longue, le prix est 5 fois plus élevé.
Ainsi, pour 5 \times 2 \text{ h} = 10 \text{ h} de location, le prix à payer sera égal à :
5 \times 60 \text{ €} = 300 \text{ €}
Le prix à payer pour une durée de location de 10 heures sera de 300 €.
Étude du tarif proposé par la société B
La société B propose le tarif suivant : 60 € de frais de dossier, plus 15 € par heure de location.
En louant un bateau pour une durée de 2 heures, quel sera le prix à payer ?
Pour 2 heures de location, le prix à payer sera, en euros, de :
60 + 2 \times 15 = 60 + 30 = 90
En louant un bateau pour une durée de 2 heures, le prix à payer sera de 90 €.
On désigne par x le nombre d'heures de location.
On appelle f la fonction qui, au nombre d'heures de location, associe le prix, en euros, avec le tarif proposé par la société B.
On admet que f est définie par f (x) = 15x +60.
Sur lequel de ces graphiques a-t-on représenté la courbe représentative de la fonction f ?
La fonction f est une fonction affine.
Par conséquent, sa courbe représentative est une droite.
Par ailleurs :
- f(0)=15\times0+60=0+60=60
- f(2)=15 \times2+60=30+60=90
On en déduit que la droite doit passer par les points de coordonnées :
- (0 ; 60)
- (2 ; 90)
La courbe représentative de la fonction f est donc la droite passant par ces deux points.
Le prix payé est-il proportionnel à la durée de location ?
La courbe représentative de la fonction f est une droite mais elle ne passe pas par l'origine du repère.
Il ne s'agit donc pas d'une situation de proportionnalité.
Non, le prix n'est pas proportionnel à la durée de location.
Comparaison des deux tarifs
On souhaite louer un bateau pour une durée de 3 heures.
Quelle société doit-on choisir pour avoir le tarif le moins cher ?
Par lecture graphique, on détermine que pour une durée de location de 3 heures, le prix à payer avec la société A est de 90 €.
Par le calcul, on détermine que pour une durée de location de 3 heures, le prix à payer avec la société B est de :
15\text{ €} \times 3 + 60\text{ €} = 45\text{ €} + 60\text{ €} = 105 \text{ €}
On remarque que 90 est inférieur à 105.
C'est donc la société A qui propose le tarif le moins cher.
Si l'on souhaite louer un bateau pour une durée de 3 heures, c'est la société A que l'on doit choisir pour avoir le tarif le moins cher.
Quel prix va-t-on payer dans ce cas ?
Par lecture graphique, on détermine que pour une durée de location de 3 heures, le prix à payer avec la société A est de 90 €.
Si l'on souhaite louer un bateau pour une durée de 3 heures, on paiera 90 € avec la société A.
Pour quelle durée de location le prix payé est-il identique pour les deux sociétés ?
Par lecture graphique, on détermine l'abscisse du point d'intersection des deux droites.
On trouve 4.
Ainsi, pour 4 heures de location, le prix de location sera le même avec les deux sociétés.
Le prix payé est identique pour les deux sociétés si la durée de location est de 4 heures.