Dans cet exercice, les deux parties sont indépendantes.
On considère les fonctions f et g définies par f (x) = (x +2)^2 - x et g(x) = 7x +4.
Partie A
Combien vaut f(-4) ?
On calcule f(4) de la manière suivante :
(-4+2)^2-(-4)
On obtient :
(-2)^2-(-4)=4+4=8
f(-4) est égal à 8.
Lequel de ces nombres est un antécédent de 3 par la fonction g ?
Déterminer un antécédent de 3 par la fonction g revient à trouver un nombre x tel que g(x)=3.
Autrement dit, on va résoudre l'équation g(x)=3.
On obtient les étapes suivantes :
7x+4=3
7x+4\textcolor{Red}{-4}=3\textcolor{Red}{-4}
7x=-1
\dfrac{7x}{\textcolor{Red}{7}}=\dfrac{-1}{\textcolor{Red}{7}}
Et finalement :
x=\dfrac{-1}{7}
\dfrac{-1}{7} est un antécédent de 3 par la fonction g.
Partie B
Trois élèves, Paul, Jane et Morgane, cherchent à résoudre l'équation f (x) = g(x) par trois méthodes différentes.
Paul utilise un tableur. Il calcule ainsi les images des entiers compris entre -3 et 3 par les fonctions f et g.
Quelle formule a-t-il saisie en cellule B3 puis étirée vers la droite pour compléter la ligne 3 du tableau ?
La formule que Paul a saisie en cellule B3 puis étirée vers la droite pour compléter la ligne 3 du tableau est =7*B1+4.
Avec cette méthode, quelle(s) solution(s) trouve-t-il à l'équation f (x) = g(x) ?
On remarque que le nombre figurant dans les cellules E2 et E3 est le même : c'est 4.
On en déduit que le nombre figurant dans la cellule E1, à savoir 0, est solution de l'équation f (x) = g(x).
Quand on regarde chacune des autres colonnes, les cellules de la ligne 2 et de la ligne 3 ne sont pas égales. Avec cette méthode, Paul trouve uniquement 0 comme solution de l'équation f (x) = g(x).
Avec cette méthode, Paul trouve 0 comme solution à l'équation f (x) = g(x).
Jane utilise un logiciel de programmation. Le programme qu'elle a créé permet de tester l'égalité f (x) = g(x) pour une valeur de x choisie par l'utilisateur.
Ce programme se trouve ci-après. Elle décide de tester toutes les valeurs entières entre -5 et 3.
Quelle doit être la ligne 4 du programme de Jane afin d'obtenir l'image par la fonction g du nombre choisi ?
La ligne 4 du programme de Jane afin d'obtenir l'image par la fonction g du nombre choisi doit être la suivante :
Quelle réponse donne le programme si le nombre choisi est 0 ?
Si le nombre choisi est 0, alors on a :
- f(0)=(0+2)^2-0=2^2=4
- g(0)=7\times0+4=0+4=4
Et comme on a alors f(0)=g(0), on en conclut que le programme affichera : « Le nombre choisi est une solution de l'équation f(x)=g(x). »
Si le nombre choisi est 0, le programme donne : « Le nombre choisi est une solution de l'équation f(x)=g(x). »
Quelle sera alors une solution de l'équation f (x) = g(x) ?
Si le nombre choisi est 0, alors le programme affiche : « Le nombre choisi est une solution de l'équation f(x)=g(x). »
On en déduit que 0 est une solution de l'équation f(x)=g(x).
0 est une solution de l'équation f(x)=g(x).
Morgane décide de résoudre cette équation par le calcul.
À quelle équation peut se ramener l'équation f(x)=g(x) ?
L'équation f(x)=g(x) est équivalente à l'équation suivante :
(x+2)^2-x=7x+4
En développant l'identité remarquable du membre de gauche, on obtient :
(x+2)^2=x^2+4x+4
L'équation précédente est donc encore équivalente à l'équation :
x^2+4x+4-x=7x+4
En réduisant le membre de gauche, on obtient :
x^2+3x+4
L'équation précédente est donc encore équivalente à l'équation :
x^2+3x+4=7x+4
On soustrait 4 aux deux membres de l'équation. On obtient :
x^2+3x=7x
Puis on soustrait 7x aux deux membres de l'équation. On obtient finalement :
x^2-4x=0
L'équation f(x)=g(x) peut se ramener à l'équation x^2-4x=0.
Quelle est l'expression factorisée de x^2-4x ?
On factorise l'expression x^2-4x ainsi :
x^2-4x=\textcolor{Red}{x}\times{x}-\textcolor{Red}{x}\times4=\textcolor{Red}{x}\times(x-4)=x(x-4)
x(x-4) est une expression factorisée de x^2-4x.
Quelle sont alors les solutions de l'équation ?
On a factorisé l'expression x^2-4x. On a obtenu :
x^2-4x=x(x-4)
L'équation x^2-4x=0 est donc équivalente à l'équation x(x-4)=0.
Cette équation est une équation produit nul.
Résoudre l'équation x(x-4)=0 revient à résoudre les équations x=0 et x-4=0.
Par conséquent, on obtient x=0 ou x=4.
Les solutions de l'équation f(x)=g(x) sont 0 et 4.
Lequel des trois élèves a résolu l'équation f(x)=g(x) ?
Paul a cherché les solutions uniquement parmi les nombres entiers de -3 à 3.
Il a trouvé la solution égale à 0, mais pas celle égale à 4.
Il n'a donc pas trouvé les deux solutions.
De même, Jane a cherché les solutions uniquement parmi les nombres entiers de -5 à 3.
Elle a trouvé la solution égale à 0, mais pas celle égale à 4.
Elle n'a donc pas trouvé les deux solutions.
Morgane a trouvé les deux solutions : 0 et 4.
Elle a donc bien résolu l'équation f(x)=g(x).
C'est Morgane qui a résolu l'équation f(x)=g(x).