Le vocabulaire et la notation des fonctions
La notion de fonction permet de formaliser des procédés de calcul et d'avoir des notations simples pour les utiliser. On parle aussi d'« image » et d'« antécédent d'un nombre par une fonction ».
La notion de fonction
Une fonction est un processus associé à un nombre pris au hasard dans un ensemble \mathcal{D}. Elle est nommée par une lettre, souvent f.
Fonction
On considère un ensemble de nombres \mathcal{D}.
Un processus qui à un nombre pris au hasard dans cet ensemble \mathcal{D} associe un unique autre nombre est appelé une « fonction ».
Le processus qui à chaque nombre positif associe son carré est une fonction.
Une fonction est nommée à l'aide d'une lettre.
Cette lettre est souvent f, comme la première lettre du mot « fonction ».
On reprend l'exemple précédent.
Le processus qui à chaque nombre positif associe son carré est une fonction, que l'on peut noter f.
La formalisation par une expression du processus correspondant à une fonction
Il y a plusieurs façons de noter le processus correspondant à une fonction. On peut le noter sous la forme f:x\mapsto x^2 ou f(x)=x^2.
Dans le cas où l'on est capable de formaliser par une expression le processus correspondant à une fonction, il y a plusieurs façons de le noter.
On peut utiliser une flèche du type \mapsto ou simplement une égalité du type f(x)=\text{expression donnant l'image de }x\text{ par }f.
On considère la fonction f qui à tout nombre associe son carré.
On peut noter le processus correspondant à la fonction sous la forme :
f:x\mapsto x^2
ou
f(x)=x^2
L'image d'un nombre par une fonction
L'image d'un nombre par une fonction est le résultat obtenu en appliquant la fonction f à un nombre x. L'image de x par f se note f(x).
Image d'un nombre par une fonction
On considère une fonction f définie sur un ensemble de nombres \mathcal{D}.
Pour tout nombre x de l'ensemble \mathcal{D}, on appelle « image de x par f » le résultat obtenu en appliquant la fonction f au nombre x.
On note f(x) l'image du nombre x par f.
On considère la fonction f qui à tout nombre positif associe sa racine carrée.
L'image du nombre 9 par cette fonction est 3, car \sqrt{9}=3.
On note :
f(9)=3
- f\left(x\right) désigne donc l'image de x par f ; c'est un nombre.
- f n'est pas un nombre, mais une fonction.
L'antécédent d'un nombre par une fonction
L'antécédent d'un nombre par une fonction est tout nombre de l'ensemble de \mathcal{D} dont l'image par f est y. L'antécédent de y par f est un nombre x de D vérifiant f(x)=y. Un nombre peut admettre plusieurs antécédents par une même fonction, tout comme il peut n'en admettre aucun.
Antécédent d'un nombre par une fonction
On considère une fonction f définie sur un ensemble de nombres \mathcal{D}.
Soit un nombre quelconque y.
On appelle « antécédent de y par f » tout nombre de l'ensemble \mathcal{D} dont l'image par f est y.
Autrement dit, un antécédent de y par f est un nombre x de l'ensemble \mathcal{D} tel que f(x)=y.
On considère la fonction f qui à tout nombre positif associe sa racine carrée.
Le nombre 16 est un antécédent du nombre 4 par cette fonction, f(16)=4.
En effet, on a bien \sqrt{16}=4.
Un nombre peut admettre plusieurs antécédents par une même fonction.
On considère la fonction f qui à tout nombre associe son carré.
Le nombre 3 est un antécédent du nombre 9, car 3^2=9.
Le nombre -3 est également un antécédent du nombre 9, car (-3)^2=9.
Un nombre peut ne pas admettre d'antécédent par une fonction.
On considère la fonction f qui à tout nombre associe son carré.
Le nombre -3 n'admet pas d'antécédent par f car aucun nombre x ne vérifie x^2=-3.
Les représentations des fonctions
Il existe plusieurs façons de représenter une fonction. On peut utiliser une expression symbolique (comme dans la partie précédente), un tableau regroupant des images à partir d'antécédents, ou bien un graphique. On peut passer d'une représentation à une autre.
Le tableau de valeurs d'une fonction
Le tableau de valeurs d'une fonction est un tableau à deux lignes dans lequel on note les antécédents et leurs images par la fonction.
Tableau de valeurs d'une fonction
On considère une fonction f définie sur un ensemble de nombres \mathcal{D}.
Un tableau de valeurs de la fonction f est un tableau à deux lignes dans le lequel :
- la première ligne comporte des nombres de l'ensemble \mathcal{D} en général dans l'ordre croissant ;
- la deuxième ligne comporte les images des nombres de la première ligne par f.
On considère la fonction f qui à un nombre quelconque associe la somme de son double avec 1.
Autrement dit, la fonction f est la fonction suivante :
f:x\mapsto 2x+1
Le tableau de valeurs de f entre -5 et 5 avec un pas de 1 est :
| x | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| f(x) | -9 | -7 | -5 | -3 | -1 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 |
La représentation graphique d'une fonction
La représentation graphique d'une fonction f est l'ensemble des points de coordonnées (x;f(x)).
Représentation graphique d'une fonction
On considère une fonction f définie sur un ensemble de nombres \mathcal{D}.
On se place dans un repère du plan.
La représentation graphique de la fonction f est l'ensemble des points de coordonnées (x;f(x)) pour x parcourant l'ensemble \mathcal{D}.
Voici la courbe représentative d'une fonction :
Pour beaucoup de fonctions, la représentation graphique est une courbe formée d'un seul tenant.
Autrement dit, on ne peut plus distinguer les points définissant la courbe un par un.
C'est le cas pour l'exemple précédent.
Pour beaucoup de fonctions, la représentation graphique ne peut pas être représentée en entier.
On n'en représente donc qu'une partie.
On essaye dans ce cas de représenter une partie contenant les particularités de la représentation graphique s'il y en a.
On considère la fonction f qui à chaque nombre associe son carré.
Autrement dit, f est la fonction définie pour n'importe quel nombre x par f(x)=x^2.
Pour dessiner sa courbe représentative, on n'en dessine qu'une partie :
Le passage d'une représentation à une autre
On peut passer d'une représentation à une autre, et notamment d'une expression symbolique à une représentation graphique ou un tableau de valeurs, d'une représentation graphique à un tableau de valeurs, ou inversement, d'un tableau de valeurs à une représentation graphique.
Le passage d'une expression symbolique à une représentation graphique
On peut obtenir la représentation graphique d'une fonction à partir de l'expression symbolique de cette fonction.
À partir d'une expression (représentation symbolique) d'une fonction, on peut obtenir une représentation graphique de la fonction, car l'expression permet de calculer autant d'images de nombres que l'on souhaite.
- L'image de x par f est l'ordonnée du point de C_{f} d'abscisse x.
- Les antécédents de y par f sont les abscisses des points de C_{f} d'ordonnée y.
Sur le graphique ci-dessous, on peut lire l'image du nombre 4,5, qui est 1.
On peut aussi déterminer les antécédents de 3, qui sont -5 et 6.
Le passage d'une expression symbolique à un tableau de valeurs
On peut obtenir le tableau de valeurs d'une fonction à partir de l'expression symbolique de cette fonction.
À partir d'une expression (représentation symbolique) d'une fonction, on peut obtenir un tableau de valeurs, car l'expression permet de calculer autant d'images de nombres que l'on souhaite.
On considère la fonction qui à un nombre quelconque lui associe la somme de son carré et de 5.
On note f cette fonction.
Autrement dit, la fonction f est la fonction f:x\mapsto x^2+5.
Grâce à cette expression, on peut calculer les images des nombres que l'on souhaite.
On peut par exemple calculer les images des entiers entre -5 et 5 et regrouper les résultats dans un tableau.
f(-5)=(-5)^2+5=30
f(-4)=(-4)^2+5=21
f(-3)=(-3)^2+5=14
f(-2)=(-2)^2+5=9
f(-1)=(-1)^2+5=6
f(0)=0^2+5=5
f(1)=1^2+5=6
f(2)=2^2+5=9
f(3)=3^2+5=14
f(4)=4^2+5=21
f(5)=5^2+5=30
On obtient donc le tableau de valeurs suivant :
| x | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| f(x) | 30 | 21 | 14 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 14 | 21 | 35 |
Le passage d'une représentation graphique à un tableau de valeurs
On peut obtenir le tableau de valeurs d'une fonction à partir de la représentation graphique de cette fonction.
À partir d'une représentation graphique d'une fonction, on peut obtenir un tableau de valeurs de la fonction car on peut lire sur le graphique les images de certains nombres.
Lorsqu'on peut lire de façon précise les images de certains nombres par une fonction sur la représentation graphique d'une fonction, on peut construire un tableau de valeurs.
On arrive à lire facilement les images des nombres -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 et 4.
On lit :
f(-4)=6
f(-3)=2{,}5
f(-2)=0
f(-1)=-1{,}5
f(0)=-2
f(1)=-1{,}5
f(2)=0
f(3)=2{,}5
f(4)=6
On en déduit le tableau suivant :
| x | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| f(x) | 6 | 2,5 | 0 | -1,5 | -2 | -1,5 | 0 | 2,5 | 6 |
Le passage d'un tableau de valeurs à une représentation graphique
On peut obtenir la représentation graphique d'une fonction à partir du tableau de valeurs de cette fonction.
À partir d'un tableau de valeurs de la fonction, on n'obtient que quelques points de la représentation graphique de la fonction car on ne peut placer que les points correspondant aux nombres du tableau et leurs images.
On considère le tableau de valeurs suivant :
| x | -4 | -3 | -1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| f(x) | 0 | -1 | -2 | -1 | 2 | 3 | 2 | -1 |
À partir de ces valeurs on peut placer les points suivants :
À partir de ces points, plusieurs représentations graphiques de fonctions sont possibles.
Il est donc impossible de connaître précisément la représentation graphique correspondant à ces valeurs sans plus d'informations.
Les fonctions linéaires
Une fonction linéaire est une fonction de type f(x)=ax, où a est le coefficient de cette fonction. Une fonction linéaire permet de modéliser une situation de proportionnalité et sa représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère.
Définition d'une fonction linéaire
Une fonction linéaire est une fonction définie pour tous les nombres x et dont l'expression est du type f(x)=ax.
Fonction linéaire
On appelle « fonction linéaire » toute fonction définie pour tous les nombres x et dont une expression est du type f(x)=ax où a est un nombre quelconque fixé.
- x\longmapsto 2x est la fonction linéaire qui à tout nombre x associe son double.
- x\longmapsto -5x est la fonction linéaire qui multiplie tout nombre x par -5.
Une fonction linéaire est un procédé qui effectue une seule opération : la multiplication par un nombre fixé a.
La fonction linéaire f:x\mapsto -9x est le procédé qui multiplie tout nombre par -9.
Soit f une fonction linéaire de coefficient a, c'est-à-dire la fonction f qui à tout nombre x associe le nombre f\left(x\right)=ax.
Si a\neq0, tout nombre y admet un antécédent par f et cet antécédent est unique.
Soit f la fonction qui à chaque nombre associe son triple.
Autrement dit, f est la fonction x\mapsto 3x.
Le nombre 30 admet un unique antécédent par f.
En effet, un nombre x vérifie 3x=30 uniquement si x=10.
Le nombre 30 admet un unique antécédent par f : le nombre 10.
La caractérisation d'une fonction linéaire
Une fonction linéaire est caractérisée par son coefficient a et toutes les images sont proportionnelles aux antécédents.
Une fonction linéaire est définie par son coefficient a.
Il suffit ainsi de connaître la valeur de a pour être en mesure de calculer l'image et l'antécédent de tout nombre par la fonction.
On considère la fonction linéaire de coefficient a=7.
- Si l'on veut calculer l'image du nombre 6, il suffit de multiplier 6 par a, ce qui donne 6\times7=42.
L'image de 6 est 42. - Pour calculer l'antécédent de 14, on divise 14 par a, ce qui donne 14\div7=2.
L'antécédent de 14 est 2.
Pour une fonction linéaire donnée, toutes les images sont proportionnelles aux antécédents.
Le coefficient de proportionnalité est le coefficient a.
Par conséquent, il suffit de connaître l'image d'un nombre non nul par une fonction linéaire pour pouvoir déterminer la valeur du coefficient a, et donc l'expression générale de f.
Le tableau suivant représente des antécédents et leurs images par une fonction linéaire. On peut remarquer la situation de proportionnalité entre les images et les antécédents.
Pour obtenir les images, on multiplie les antécédents par 3.
Cela signifie que le tableau correspond à un tableau de valeurs de la fonction linéaire f:x\mapsto 3x.
La représentation graphique d'une fonction linéaire
La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère.
Dans un repère, la représentation graphique de la fonction linéaire x \longmapsto ax est la droite passant par l'origine O du repère et le point de coordonnées (1;a).
Le nombre a est appelé « coefficient directeur de la droite ».
Soit la fonction linéaire définie pour tout nombre x par :
f\left(x\right) = 0{,}5x
Sa représentation graphique dans le repère est la droite tracée en bleu ci-dessous :
La fonction linéaire donnée a pour représentation graphique la droite passant par l'origine du repère et le point de coordonnées (1;0{,}5).
Pour tracer la droite, représentation graphique d'une fonction linéaire de coefficient a, on peut également calculer l'image d'un nombre non nul autre que 1 par la fonction. On obtient ainsi un autre point que le point de coordonnées (1;a).
On considère la fonction linéaire f:x\mapsto \dfrac{2}{3}x.
L'image de 3 par f est un nombre entier :
f(3)=\dfrac{2}{3}\times 3=2
La droite représentant graphiquement la fonction f passe donc par l'origine du repère et le point de coordonnées (3;2), plus simple à placer que le point de coordonnées \left(1;\dfrac{2}{3}\right).
Réciproquement, toute droite non verticale \left( d \right) passant par l'origine du repère est la représentation graphique d'une fonction linéaire.
En considérant un point A appartenant à \left( d \right) et distinct de l'origine du repère dont les coordonnées dans le plan sont notées \left( x_A,y_A \right), le coefficient directeur a de la droite \left( d \right) se calcule de la manière suivante :
a=\dfrac{y_A}{x_A}
On considère la droite suivante passant par l'origine du repère.
On observe qu'elle passe également par le point de coordonnées (5;3).
Son coefficient directeur est donc a=\dfrac{3}{5}.
La fonction linéaire correspondante est donc la fonction f:x\mapsto \dfrac{3}{5}x.
La modélisation d'une situation de proportionnalité à l'aide d'une fonction linéaire
Les fonctions linéaires permettent de formaliser des situations de proportionnalité. On les retrouve lorsqu'on applique des évolutions données par un pourcentage d'augmentation ou de diminution.
On considère un prix de départ égal à x.
Si le prix augmente de t\%, le nouveau prix y est égal à :
y = \left(1 +\dfrac{t}{100}\right) x
Ainsi, la relation qui permet de calculer un prix après un pourcentage d'augmentation est une fonction linéaire, dont le coefficient est égal à :
a = 1 +\dfrac{t}{100} en cas d'augmentation de t\%
- Si l'augmentation du prix est de 16 %, le coefficient de la fonction linéaire associée à cette évolution est :
a=1+\dfrac{16}{100}=1+0{,}16=1{,}16 - Si l'ancien prix est x=136 \text{ €}, alors le nouveau prix y est :
y=1{,}16x=1{,}16\times136=157{,}76 \text{ €}
On considère un prix de départ égal à x.
Si le prix diminue de t\%, le nouveau prix y est égal à :
y = \left(1 -\dfrac{t}{100}\right) x
Ainsi, la relation qui permet de calculer un prix après un pourcentage de diminution est une fonction linéaire, dont le coefficient est égal à :
a = 1 -\dfrac{t}{100} en cas de diminution de t\%
Si la diminution du prix est de 18 %, le coefficient de la fonction linéaire associée à cette évolution est :
a=1-\dfrac{18}{100}=1-0{,}18=0{,}82
Si l'ancien prix est x=120 \text{ €}, alors le nouveau prix y est :
y=0{,}82x=0{,}82\times120=98{,}4 \text{ €}
Les fonctions affines
Une fonction affine est une fonction du type f(x)=ax+b et il en existe deux formes particulières. La représentation graphique d'une fonction affine est une droite. Si l'on considère une fonction linéaire de même coefficient, alors les représentations graphiques de ces deux fonctions sont des droites parallèles.
Définition d'une fonction affine
Une fonction affine est une fonction définie pour tous les nombres x et dont l'expression est du type f(x)=ax+b.
Fonction affine
On appelle « fonction affine » toute fonction définie pour tous les nombres x et dont une expression est du type f(x)=ax+b où a et b sont des nombres quelconques fixés.
La fonction f définie pour tout nombre x par f\left(x\right)=-3x+5 est une fonction affine.
En effet, l'expression donnée est du type f(x)=ax+b avec a=-3 et b=5.
Une fonction affine est un procédé qui effectue deux opérations : la multiplication par un nombre fixé a et l'ajout d'un autre nombre fixé b.
La fonction affine f:x\mapsto -9x+7 est le procédé qui multiplie tout nombre par -9 puis ajoute 7 au résultat.
Soit f une fonction affine d'expression f\left(x\right)=ax+b.
Si a\neq0, tout nombre y admet un antécédent par f et cet antécédent est unique.
Soit f la fonction affine d'expression f(x)=-7x+3.
Comme -7\neq 0, tout nombre y admet un unique antécédent par f.
Par exemple, le nombre 15 admet un unique antécédent par f.
En effet, on cherche un nombre x tel que f(x)=15.
Or, f(x)=15 à condition que -7x+3=15, soit -7x=12.
On en déduit x=\dfrac{-12}{7}.
On vérifie facilement que f\left(\dfrac{-12}{7}\right)=15.
f(\dfrac{-12}{7})=-7\times\dfrac{-12}{7}+3=12+3=15
Ainsi, le nombre 15 admet bien un unique antécédent par f : \dfrac{-12}{7}.
Les deux fonctions affines particulières
On distingue deux formes de fonctions affines particulières : elles peuvent être linéaires ou constantes.
La fonction affine linéaire
Si b=0, la fonction affine est linéaire.
Si b = 0, la fonction est linéaire.
La fonction définie par f\left(x\right)=6x+0=6x est une fonction linéaire.
L'expression donnée est du type f(x)=ax+b avec a=6 et b=0.
Une fonction linéaire est une fonction affine.
La fonction linéaire f(x)=2x correspond à la fonction affine f(x)=2x+0 où a=2 et b=0.
La fonction affine constante
Si a=0, la fonction affine est constante.
Si a = 0, la fonction est constante (tous les nombres ont même image, égale à b).
La fonction définie par f\left(x\right)=9 est une fonction constante.
L'expression donnée est du type f(x)=ax+b avec a=0 et b=9.
La représentation graphique d'une fonction affine
Soit une fonction affine f(x)=ax+b. La représentation graphique de la fonction est une droite coupant l'axe des ordonnées (0;b).
Dans un repère, la représentation graphique de la fonction affine x \longmapsto ax + b est une droite coupant l'axe des ordonnées au point de coordonnées \left(0 ; b\right).
Le nombre a est appelé « coefficient directeur de la droite » (ou « pente de la droite »), et le nombre b est appelé « ordonnée à l'origine ».
Le nombre a est appelé « coefficient directeur » (ou « pente ») uniquement lorsqu'on parle de la droite.
Si l'on parle de la fonction, a est simplement nommé « coefficient ».
Réciproquement, toute droite \left( d \right) coupant l'axe des ordonnées du repère est la représentation graphique d'une fonction affine.
L'ordonnée à l'origine b est alors l'ordonnée du point de la droite \left( d \right) d'abscisse 0.
Le coefficient directeur a s'obtient à partir des coordonnés de deux points distincts de la droite notés A\left( x_A,y_A \right) et B\left( x_B,y_B \right) :
a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}
On considère la droite suivante.
Elle coupe l'axe des ordonnées.
C'est donc la représentation graphique d'une fonction affine.
On note f cette fonction.
La droite coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées (0;2).
Son ordonnée à l'origine est donc b=2.
La droite passe par les points A(2;-1) et B(4;-4).
Son coefficient directeur est donc :
a=\dfrac{-4-(-1)}{4-2}=\dfrac{-4+1}{2}=\dfrac{-3}{2}
La fonction affine représentée par cette droite a donc pour expression :
f(x)=\dfrac{-3}{2}x+2
Le lien entre la représentation graphique d'une fonction linéaire et d'une fonction affine de même coefficient
Les représentations graphiques d'une fonction linéaire et d'une fonction affine de même coefficient sont deux droites parallèles.
Les droites représentant respectivement la fonction affine x \longmapsto ax + b et la fonction linéaire x \longmapsto ax, de même coefficient directeur a, sont parallèles.
On considère la fonction linéaire f:x\mapsto 2x et la fonction affine g:x\mapsto 2x-3.
Elles ont le même coefficient.
Les droites les représentant dans un repère du plan sont donc parallèles.
En notant (d_1) et (d_2) les droites représentant respectivement les fonctions f et g, on obtient le graphique suivant :
