Une urne contient 20 boules indiscernables au toucher. Parmi ces boules, 12 sont noires, 6 sont blanches et 2 sont rouges.
Un joueur mise m € et tire une boule au hasard. S'il tire une boule rouge, il gagne 10 €. S'il tire une boule blanche, il gagne 5 €. Sinon, il ne gagne rien.
Quelle mise rend le jeu équitable ?
Si X est une variable aléatoire qui prend les valeurs x_1, x_2, x_3, alors l'espérance de la variable aléatoire X est :
E(X)=P(X=x_1)\times x_1+P(X=x_2)\times x_2+\dots+ P(X=x_3)\times x_3
On note m la mise du joueur en euros.
Ici, le gain algébrique (gain au jeu moins la mise) du joueur est :
- 10-m s'il tire une boule rouge : P(X=10-m) = \dfrac{2}{20} ;
- 5-m s'il tire une boule blanche : P(X=5-m) = \dfrac{6}{20} ;
- -m s'il tire une boule noire : P(X=-m) = \dfrac{12}{20}.
L'espérance du gain algébrique est donc :
E(G)=(10-m)\times P(X=10-m)+(5-m)\times P(X=5-m)+(-m)\times P(X=-m)
E(G)=(10-m)\times \dfrac{2}{20}+(5-m)\times \dfrac{6}{20}+(-m)\times \dfrac{12}{20}
E(G)=\dfrac{5}{2}-m
E(G)=2{,}50-m
Le jeu est équitable si et seulement si E(G)=0.
Ainsi, le jeu est équitable si m=2{,}50\text{ €}.
Une urne contient 20 boules indiscernables au toucher. Parmi ces boules, 12 sont noires, 6 sont blanches et 2 sont rouges.
Un joueur mise m € et tire une boule au hasard. S'il tire une boule rouge, il gagne 100 €. S'il tire une boule blanche, il gagne 20 €. Sinon, il ne gagne rien.
Quelle mise rend le jeu équitable ?
Si X est une variable aléatoire qui prend les valeurs x_1, x_2, x_3, alors l'espérance de la variable aléatoire X est :
E(X)=P(X=x_1)\times x_1+P(X=x_2)\times x_2+\dots+ P(X=x_3)\times x_3
On note m la mise du joueur en euros.
Ici, le gain algébrique (gain au jeu moins la mise) du joueur est :
- 100-m s'il tire une boule rouge : P(X=100-m) = \dfrac{2}{20} ;
- 20-m s'il tire une boule blanche : P(X=20-m) = \dfrac{6}{20} ;
- -m s'il tire une boule noire : P(X=-m) = \dfrac{12}{20}.
L'espérance du gain algébrique est donc :
E(G)=(100-m)\times P(X=100-m)+(20-m)\times P(X=20-m)+(-m)\times P(X=-m)
E(G)=(100-m)\times \dfrac{2}{20}+(20-m)\times \dfrac{6}{20}+(-m)\times \dfrac{12}{20}
E(G)=\dfrac{320-20m}{20}
E(G)=16-m
Le jeu est équitable si et seulement si E(G)=0.
Ainsi, le jeu est équitable si m=16\text{ €}.
Une urne contient 20 boules indiscernable au toucher. Parmi ces boules, 10 sont noires, 5 sont blanches et 5 sont rouges.
Un joueur mise m € et tire une boule au hasard. S'il tire une boule rouge, il gagne 30 €. S'il tire une boule blanche, il gagne 10 €. Sinon, il ne gagne rien.
Quelle mise rend le jeu équitable ?
Si X est une variable aléatoire qui prend les valeurs x_1, x_2, x_3, alors l'espérance de la variable aléatoire X est :
E(X)=P(X=x_1)\times x_1+P(X=x_2)\times x_2+\dots+ P(X=x_3)\times x_3
On note m la mise du joueur en euros.
Ici, le gain algébrique (gain au jeu moins la mise) du joueur est :
- 30-m s'il tire une boule rouge : P(X=30-m) = \dfrac{5}{20} ;
- 10-m s'il tire une boule blanche : P(X=10-m) = \dfrac{5}{20} ;
- -m s'il tire une boule noire : P(X=-m) = \dfrac{10}{20}.
L'espérance du gain algébrique est donc :
E(G)=(30-m)\times P(X=30-m)+(10-m)\times P(X=10-m)+(-m)\times P(X=-m)
E(G)=(30-m)\times \dfrac{5}{20}+(10-m)\times \dfrac{5}{20}+(-m)\times \dfrac{10}{20}
E(G)=\dfrac{200-20m}{20}
E(G)=10-m
Le jeu est équitable si et seulement si E(G)=0.
Le jeu est donc équitable si m=10\text{ €}.
Une urne contient 50 boules indiscernable au toucher. Parmi ces boules, 20 sont noires, 10 sont blanches et 20 sont rouges.
Un joueur mise m € et tire une boule au hasard. S'il tire une boule rouge, il gagne 30 €. S'il tire une boule blanche, il gagne 10 €. Sinon, il ne gagne rien.
Quelle mise rend le jeu équitable ?
Si X est une variable aléatoire qui prend les valeurs x_1, x_2, x_3, alors l'espérance de la variable aléatoire X est :
E(X)=P(X=x_1)\times x_1+P(X=x_2)\times x_2+\dots+ P(X=x_3)\times x_3
On note m la mise du joueur en euros.
Ici, le gain algébrique (gain au jeu moins la mise) du joueur est :
- 30-m s'il tire une boule rouge : P(X=30-m) = \dfrac{20}{50} ;
- 10-m s'il tire une boule blanche : P(X=10-m) = \dfrac{10}{50} ;
- -m s'il tire une boule noire : P(X=-m) = \dfrac{20}{50}.
L'espérance du gain algébrique est donc :
E(G)=(30-m)\times P(X=30-m)+(10-m)\times P(X=10-m)+(-m)\times P(X=-m)
E(G)=(30-m)\times \dfrac{20}{50}+(10-m)\times \dfrac{10}{50}+(-m)\times \dfrac{20}{50}
E(G)=\dfrac{700-50m}{50}
E(G)=14-m
Le jeu est équitable si et seulement si E(G)=0.
Le jeu est donc équitable si m=14\text{ €}.
Une urne contient 50 boules indiscernable au toucher. Parmi ces boules, 20 sont noires, 10 sont blanches et 20 sont rouges.
Un joueur mise m € et tire une boule au hasard. S'il tire une boule rouge, il gagne 80 €. S'il tire une boule blanche, il gagne 30 €. Sinon, il ne gagne rien.
Quelle mise rend le jeu équitable ?
Si X est une variable aléatoire qui prend les valeurs x_1, x_2, x_3, alors l'espérance de la variable aléatoire X est :
E(X)=P(X=x_1)\times x_1+P(X=x_2)\times x_2+\dots+ P(X=x_3)\times x_3
On note m la mise du joueur en euros.
Ici, le gain algébrique (gain au jeu moins la mise) du joueur est :
- 80-m s'il tire une boule rouge : P(X=80-m) = \dfrac{20}{50} ;
- 30-m s'il tire une boule blanche : P(X=30-m) = \dfrac{10}{50} ;
- -m s'il tire une boule noire : P(X=-m) = \dfrac{20}{50}.
L'espérance du gain algébrique est donc :
E(G)=(80-m)\times P(X=80-m)+(30-m)\times P(X=30-m)+(-m)\times P(X=-m)
E(G)=(80-m)\times \dfrac{20}{50}+(30-m)\times \dfrac{10}{50}+(-m)\times \dfrac{20}{50}
E(G)=\dfrac{\text{1 900}-50m}{50}
E(G)=38-m
Le jeu est équitable si et seulement si E(G)=0.
Le jeu est donc équitable si m=38 \text{ €}.