Déterminer la valeur du paramètre k.
Lors d'une kermesse, un jeu permet de remporter des bons cadeaux. On note X la variable aléatoire représentant le nombre de bons obtenus. Les joueurs peuvent remporter 0, 2, 10 ou k bons.
La probabilité de n'obtenir aucun bon lors du jeu est de \dfrac{1}{2}. La probabilité d'obtenir 2 bons est de \dfrac{5}{18}. La probabilité d'obtenir 10 bons est de \dfrac{1}{18}.
Les organisateurs du jeu souhaitent que leur jeu ait une variance de \dfrac{\text{2 285}}{324}.
Combien doit valoir k pour respecter cette contrainte ?
Soit \Omega l'univers d'une expérience aléatoire, ayant un nombre fini d'issues.
Soit X une variable aléatoire sur \Omega prenant les valeurs x_1;x_2;\dots;x_n.
Alors, on a :
- l'espérance : E(X)=\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i)\times x_i ;
- la variance : V(X)=E\left(\left[X-E(X)\right]^2\right)=\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i)\times \left(x_i-E(X)\right)^2.
On peut représenter la loi de probabilité de la variable aléatoire X dans le tableau suivant :
D'après les valeurs de la loi de probabilité, on obtient :
E(X)=\dfrac{9}{18}\times 0+\dfrac{5}{18}\times 2+\dfrac{3}{18}\times k+\dfrac{1}{18}\times 10
E(X)=\dfrac{10+3k+10}{18}
E(X)=\dfrac{3k+20}{18}
Ainsi, en ajoutant l'expression de l'espérance dans l'expression de la variance, on a :
V(X)=\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i)\times \left(x_i-E(X)\right)^2
V(X)=\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i)\times \left(x_i-\dfrac{3k+20}{18}\right)^2
V(X)=\dfrac{9}{18}\times \left(0-\dfrac{3k+20}{18}\right)^2+\dfrac{5}{18}\times \left(2-\dfrac{3k+20}{18}\right)^2+\dfrac{3}{18}\times \left(k-\dfrac{3k+20}{18}\right)^2+\dfrac{1}{18}\times \left(10-\dfrac{3k+20}{18}\right)^2
V(X)=\dfrac{9\times (-3k-20)^2+5\times (2\times 18-3k-20)^2+3\times (18k-3k-20)^2+1\times (10\times 18-3k-20)^2}{18^3}
V(X)=\dfrac{9\times (-3k-20)^2+5\times (-3k+16)^2+3\times (15k-20)^2+1\times (-3k+160)^2}{18^3}
V(X)=\dfrac{9\times (9k^2+2\times 3\times 20\times k+400)+5\times (9k^2-2\times 3\times 16\times k+256)+3\times (225k^2-2\times 15\times 20\times k+400)+9k^2-2\times 3\times 160+ \text{25 600}}{18^3}
V(X)=\dfrac{9\times (9k^2+120k+400)+5\times (9k^2-96k+256)+3\times (225k^2-600k+400)+9k^2-960k+ \text{25 600}}{18^3}
V(X)=\dfrac{81k^2+\text{1 080}k+\text{3 600}+45k^2-480k+\text{1 280}+675k^2-\text{1 800}k+\text{1 200}+9k^2-960k+\text{25 600}}{18^3}
V(X)=\dfrac{810k^2-\text{2 160}k+\text{31 680}}{324\times 18}
Or, on a :
V(X)=\dfrac{\text{2 285}}{324}
Ainsi, on obtient l'équation :
\dfrac{\text{2 285}}{324}=\dfrac{810k^2-\text{2 160}k+\text{31 680}}{324\times 18}
En simplifiant, on obtient :
810k^2-\text{2 160}k-\text{9 450}=0
3k^2-8k-35=0
Pour déterminer la valeur du paramètre k, on doit trouver les éventuelles racines du polynôme défini par 3k^2-8k-35.
Pour cela, on calcul le discriminant :
\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4\times 3 \times (-35) = 484=22^2
Le discriminant est positif, donc le polynôme a deux racines telles que :
x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{8+22}{2\times 3}=5
x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{8-22}{2\times 3}=-\dfrac{7}{3}
Or, la variable X représente le nombre de bons gagnés, donc le paramètre k est un entier, car on ne peut pas avoir de demi-bon ou un tiers de bon.
La valeur du paramètre est donc : k=5.
Lors d'une kermesse, un jeu permet de remporter des bons cadeaux. On note X la variable aléatoire représentant le nombre de bons obtenus. Les joueurs peuvent remporter 0, 10, 30 ou k bons.
La probabilité de n'obtenir aucun bon lors du jeu est de \dfrac{1}{3}. La probabilité d'obtenir 10 bons est de \dfrac{1}{3}. La probabilité d'obtenir 30 bons est de \dfrac{1}{6}.
Les organisateurs du jeu souhaitent que leur jeu ait une variance de 10.
Combien doit valoir k pour respecter cette contrainte ?
Soit \Omega l'univers d'une expérience aléatoire, ayant un nombre fini d'issues.
Soit X une variable aléatoire sur \Omega prenant les valeurs x_1;x_2;\dots;x_n.
Alors, on a :
- l'espérance : E(X)=\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i)\times x_i ;
- la variance : V(X)=E\left(\left[X-E(X)\right]^2\right)=\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i)\times \left(x_i-E(X)\right)^2.
On peut représenter la loi de probabilité de la variable aléatoire X dans le tableau suivant :
D'après les valeurs de la loi de probabilité, on obtient :
E(X)=\dfrac{1}{3}\times 0 + \dfrac{1}{3}\times 10 + \dfrac{1}{6}\times k + \dfrac{1}{6}\times 30
E(X)=\dfrac{20 + k + 30 }{6}
E(X)=\dfrac{k+50}{6}
Ainsi, en ajoutant l'expression de l'espérance dans l'expression de la variance, on a :
V(X)=\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i) \times \left(x_i-E(X)\right)^2
V(X)= \dfrac{1}{3} (0 - E(X))^2 + \dfrac{1}{3} (10 - E(X))^2 +\dfrac{1}{6} (k - E(X))^2 +\dfrac{1}{6} (30 - E(X))^2
V(X)= \dfrac{1}{6} (2\times E(X)^2 + 2 \times (100 - 20 \times E(X) + E(X)^2) + (k^2 - 2k \times E(X) + E(X)^2) + (900 - 60 \times E(X) + E(X)^2)
V(X)= \dfrac{1}{6} ( 6E(X)^2 -100E(X) +\text{1 100} -2kE(X) +k^2 )
On a :
E(X) = \dfrac{k+50}{6}
Donc :
E(X)^2 = \dfrac{k^2+100k +\text{2 500}}{36}
On réinjecte E(X) et E(X)^2 dans V(X) :
V(X)= \dfrac{1}{6} (6\dfrac{k^2+100k +\text{2 500}}{36} -100\dfrac{k+50}{6} +\text{1 100} -2k\dfrac{k+50}{6} +k^2)
V(X)= \dfrac{1}{216} (6(k^2+100k +\text{2 500}) -600(k+50) +36 \times \text{1 100} -12k(k+50) +36k^2)
V(X)= \dfrac{1}{216} (6k^2+600k +\text{15 000} -600k-\text{30 000} +\text{39 600} -12k^2-600k +36k^2)
V(X)= \dfrac{1}{216} (30k^2 -600k +\text{24 600})
Or, on a :
V(X)=10
Ainsi, on obtient l'équation :
10 = \dfrac{30k^2 -600k +\text{24 600}}{216}
En simplifiant, on obtient :
30k^2-600k+\text{24 600} - \text{2 160} =0
30k^2-600k+\text{22 440}=0
Pour déterminer la valeur du paramètre k, on doit trouver les éventuelles racines du polynôme défini par 30k^2-600k+\text{22 440}.
Pour cela, on calcule le discriminant :
\Delta=b^2-4ac=(-600)^2-4\times 30 \times (\text{22 440}) = -\text{2 332 800}
Le discriminant est négatif, donc le polynôme ne s'annule pas sur \mathbb{R}.
Il n'existe donc pas de valeur pour k telle que V(X) = 10 .
Lors d'une kermesse, un jeu permet de remporter des bons cadeaux. On note X la variable aléatoire représentant le nombre de bons obtenus. Les joueurs peuvent remporter 0, 10, 30 ou k bons.
La probabilité de n'obtenir aucun bon lors du jeu est de \dfrac{1}{3}. La probabilité d'obtenir 10 bons est de \dfrac{1}{3}. La probabilité d'obtenir 30 bons est de \dfrac{1}{6}.
Les organisateurs du jeu souhaitent que leur jeu ait une variance de 100.
Combien doit valoir k pour respecter cette contrainte ?
Soit \Omega l'univers d'une expérience aléatoire, ayant un nombre fini d'issues.
Soit X une variable aléatoire sur \Omega prenant les valeurs x_1;x_2;\dots;x_n.
Alors, on a :
- l'espérance : E(X)=\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i)\times x_i ;
- la variance : V(X)=E\left(\left[X-E(X)\right]^2\right)=\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i)\times \left(x_i-E(X)\right)^2.
On peut représenter la loi de probabilité de la variable aléatoire X dans le tableau suivant :
D'après les valeurs de la loi de probabilité, on obtient :
E(X)=\dfrac{1}{3}\times 0 + \dfrac{1}{3}\times 10 + \dfrac{1}{6}\times k + \dfrac{1}{6}\times 30
E(X)=\dfrac{20 + k + 30 }{6}
E(X)=\dfrac{k+50}{6}
Ainsi, en ajoutant l'expression de l'espérance dans l'expression de la variance, on a :
V(X)=\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i) \times \left(x_i-E(X)\right)^2
V(X)= \dfrac{1}{3} (0 - E(X))^2 + \dfrac{1}{3} (10 - E(X))^2 +\dfrac{1}{6} (k - E(X))^2 +\dfrac{1}{6} (30 - E(X))^2
V(X)= \dfrac{1}{6} (2\times E(X)^2 + 2 \times (100 - 20 \times E(X) + E(X)^2) + (k^2 - 2k \times E(X) + E(X)^2) + (900 - 60 \times E(X) + E(X)^2)
V(X)= \dfrac{1}{6} ( 6E(X)^2 -100E(X) +\text{1 100} -2kE(X) +k^2 )
On a :
E(X) = \dfrac{k+50}{6}
Donc :
E(X)^2 = \dfrac{k^2+100k +\text{2 500}}{36}
On réinjecte E(X) et E(X)^2 dans V(X) :
V(X)= \dfrac{1}{6} ( 6\dfrac{k^2+100k +\text{2 500}}{36} -100\dfrac{k+50}{6} +\text{1 100} -2k\dfrac{k+50}{6} +k^2)
V(X)= \dfrac{1}{216} (6(k^2+100k +\text{2 500}) -600(k+50) +36 \times \text{1 100} -12k(k+50) +36k^2)
V(X)= \dfrac{1}{216} (6k^2+600k +\text{15 000} -600k-\text{30 000} +\text{39 600} -12k^2-600k +36k^2)
V(X)= \dfrac{1}{216} (30k^2 -600k +\text{24 600})
Or, on a :
V(X)=100
Ainsi, on obtient l'équation :
100= \dfrac{30k^2 -600k +\text{24 600}}{216}
En simplifiant, on obtient :
30k^2-600k+\text{24 600} - \text{21 600} =0
30k^2-600k+\text{3 000}=0
Pour déterminer la valeur du paramètre k, on doit trouver les éventuelles racines du polynôme défini par 30k^2-600k+\text{3 000}.
Pour cela, on calcul le discriminant :
\Delta=b^2-4ac=(-600)^2-4\times 30 \times \text{3 000} = 0
Le discriminant est nul, donc le polynôme s'annule une seule fois sur \mathbb{R} pour :
k = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{600}{60} = 10
La valeur du paramètre est donc : k=10.
Lors d'une kermesse, un jeu permet de remporter des bons cadeaux. On note X la variable aléatoire représentant le nombre de bons obtenus. Les joueurs peuvent remporter 0, 1, 2 ou k bons.
La probabilité d'obtenir 0 bons lors du jeu est de \dfrac{1}{4}. La probabilité d'obtenir 1 bons est de \dfrac{1}{4}. La probabilité d'obtenir 2 bons est de \dfrac{1}{4}.
Les organisateurs du jeu souhaitent que leur jeu ait une variance de \dfrac{14}{4}.
Combien doit valoir k pour respecter cette contrainte ?
Soit \Omega l'univers d'une expérience aléatoire, ayant un nombre fini d'issues.
Soit X une variable aléatoire sur \Omega prenant les valeurs x_1;x_2;\dots;x_n.
Alors, on a :
- l'espérance : E(X)=\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i)\times x_i ;
- la variance : V(X)=E\left(\left[X-E(X)\right]^2\right)=\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i)\times \left(x_i-E(X)\right)^2.
On peut représenter la loi de probabilité de la variable aléatoire X dans le tableau suivant :
D'après les valeurs de la loi de probabilité, on obtient :
E(X)=\dfrac{1}{4}\times 0 + \dfrac{1}{4}\times 1 + \dfrac{1}{4}\times 2 + \dfrac{1}{4}\times k
E(X)=\dfrac{1+2+k }{4}
E(X)=\dfrac{k+3}{4}
Ainsi, en ajoutant l'expression de l'espérance dans l'expression de la variance, on a :
V(X)=\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i) \times \left(x_i-E(X)\right)^2
V(X)= \dfrac{1}{4} (0 - E(X))^2 + \dfrac{1}{4} (1 - E(X))^2 +\dfrac{1}{4} (k - E(X))^2 +\dfrac{1}{4} (2 - E(X))^2
V(X)= \dfrac{1}{4} (E(X)^2 + (1 - 2 \times E(X) + E(X)^2) + (k^2 - 2k \times E(X) + E(X)^2) + (4 - 4\times E(X) + E(X)^2)
V(X)= \dfrac{1}{4} ( 4E(X)^2 -6E(X) +5 - 2kE(X) + k^2 )
On a :
E(X) = \dfrac{k+3}{4}
Donc :
E(X)^2 = \dfrac{k^2+6k+9}{16}
On réinjecte E(X) et E(X)^2 dans V(X) :
V(X)= \dfrac{1}{4} (4\dfrac{k^2+6k+9}{16} -6\dfrac{k+3}{4} +5 -2k\dfrac{k+3}{4} +k^2)
V(X)= \dfrac{1}{16} ((k^2+6k +9) -6(k+3) +4 \times 5 -2k(k+3) +4k^2)
V(X)= \dfrac{1}{16} (k^2+6k +9 -6k-18 +20 -2k^2-6k +4k^2)
V(X)= \dfrac{1}{16} (3k^2 -6k +11 )
Or, on a :
V(X)=\dfrac{14}{4}
Ainsi, on obtient l'équation :
\dfrac{14}{4} = \dfrac{ 3k^2 -6k +11}{16}
En simplifiant, on obtient :
3k^2-6k+11-14\times4=0
3k^2-6k - 45=0
Pour déterminer la valeur du paramètre k, on doit trouver les éventuelles racines du polynôme défini par 3k^2-6k - 45 .
Pour cela, on calcul le discriminant :
\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4\times 3 \times (-45) = 36+540=576= 24^2
Le discriminant est positif, donc le polynôme a deux racines telles que :
x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{6+24}{2\times 3}=5
x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{6-24}{2\times 3}=-2
Or, la variable X représente le nombre de bons gagnés, donc le paramètre k est positif, car on ne peut pas perdre de bons.
La valeur du paramètre est donc : k=5.
Lors d'une kermesse, un jeu permet de remporter des bons cadeaux. On note X la variable aléatoire représentant le nombre de bons obtenus. Les joueurs peuvent remporter 1, 10, 50 ou k bons.
La probabilité d'obtenir 1 bon lors du jeu est de \dfrac{1}{2}. La probabilité d'obtenir 10 bons est de \dfrac{1}{4}. La probabilité d'obtenir 50 bons est de \dfrac{1}{8}.
Les organisateurs du jeu souhaitent que leur jeu ait une variance de \dfrac{3999}{16}.
Combien doit valoir k pour respecter cette contrainte ?
Soit \Omega l'univers d'une expérience aléatoire, ayant un nombre fini d'issues.
Soit X une variable aléatoire sur \Omega prenant les valeurs x_1;x_2;\dots;x_n.
Alors, on a :
- l'espérance : E(X)=\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i)\times x_i ;
- la variance : V(X)=E\left(\left[X-E(X)\right]^2\right)=\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i)\times \left(x_i-E(X)\right)^2.
On peut représenter la loi de probabilité de la variable aléatoire X dans le tableau suivant :
D'après les valeurs de la loi de probabilité, on obtient :
E(X)=\dfrac{1}{2}\times 1 + \dfrac{1}{4}\times 10 + \dfrac{1}{8}\times 50 + \dfrac{1}{8}\times k
E(X)=\dfrac{4+20+50+k }{8}
E(X)=\dfrac{k+74}{8}
Ainsi, en ajoutant l'expression de l'espérance dans l'expression de la variance, on a :
V(X)=\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i) \times \left(x_i-E(X)\right)^2
V(X)= \dfrac{1}{2} (1 - E(X))^2 + \dfrac{1}{4} (10 - E(X))^2 +\dfrac{1}{8} (k - E(X))^2 +\dfrac{1}{8} (50 - E(X))^2
V(X)= \dfrac{1}{8} (4(1 - 2E(x) + E(X)^2) + 2(100 - 20 \times E(X) + E(X)^2) + (k^2 - 2k \times E(X) + E(X)^2) + (\text{2 500} - 100\times E(X) + E(X)^2)
V(X)= \dfrac{1}{8} ( 8E(X)^2 -148E(X) +2704 - 2kE(X) + k^2 )
On a :
E(X) = \dfrac{k+74}{8}
Donc :
E(X)^2 = \dfrac{k^2+148k+\text{5 476}}{64}
On réinjecte E(X) et E(X)^2 dans V(X) :
V(X)= \dfrac{1}{8} ( 8\dfrac{k^2+148k+\text{5 476}}{64} -148\dfrac{k+74}{8} +\text{2 704} -2k\dfrac{k+74}{8} +k^2)
V(X)= \dfrac{1}{64} ((k^2+148k +\text{5 476}) -148(k+74) +8 \times \text{2 704} -2k(k+74) +8k^2)
V(X)= \dfrac{1}{64} (k^2+148k +\text{5 476} -148k-\text{10 952} +\text{21 632} -2k^2-148k +8k^2)
V(X)= \dfrac{1}{64} (7k^2 -148k +\text{16 156})
Or, on a :
V(X)=\dfrac{\text{3 999}}{16}=\dfrac{\text{15 996}}{64}
Ainsi, on obtient l'équation :
\dfrac{\text{15 996}}{64} = \dfrac{ 7k^2 -148k +\text{16 156}}{64}
En simplifiant, on obtient :
7k^2-148k+\text{16 156}-\text{15 996}=0
7k^2-148k+160 =0
Pour déterminer la valeur du paramètre k, on doit trouver les éventuelles racines du polynôme défini par 7k^2-148k +160 .
Pour cela, on calcul le discriminant :
\Delta=b^2-4ac=(148)^2-4\times 7 \times 160 = \text{21 904} + \text{4 480}= \text{17 424} = 132^2
Le discriminant est positif, donc le polynôme a deux racines telles que :
x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{148+132}{2\times 7}=20
x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{148-132}{2\times 7}=\dfrac{8}{7}
Or, la variable X représente le nombre de bons gagnés, donc le paramètre k est un entier, car on ne peut pas avoir de demi-bon ou un tiers de bon.
La valeur du paramètre est donc : k=20.