Dans les cas suivants, déterminer l'équitabilité du jeu.
Dans une fête foraine on étudie une roue circulaire partagée en 8 secteurs de même mesure et constituée de :
- 1 secteur rouge (R) ;
- 2 secteurs verts (V) ;
- 5 secteurs bleus (B).
Pour participer à ce jeu, chaque joueur doit payer 2 € et faire tourner la roue sur son axe central suffisamment fort pour qu'on puisse considérer que la roue a la même probabilité de s'arrêter sur chaque secteur. Selon la couleur du secteur sur laquelle la roue s'arrête, le joueur gagne :
- 0 € si c'est le bleu ;
- 3 € si c'est le vert ;
- 5 € si c'est le rouge.
On appelle X la variable aléatoire qui à chaque couleur associe le gain final correspondant.
Soit \Omega l'univers d'une expérience aléatoire, ayant un nombre fini d'issues. Soit X une variable aléatoire sur \Omega prenant les valeurs x_1 ; x_2 ; x_3.
On appelle espérance de la variable X le nombre réel, noté E(X), défini par :
E(X)=P(X=x_1)\times x_1+P(X=x_2)\times x_2+P(X=x_3)\times x_3
Si X est la variable aléatoire qui donne le gain (algébrique) du joueur, alors on dit que :
- le jeu est équitable si E(X)=0 ;
- le jeu est favorable au joueur si E(X)\gt 0 ;
- le jeu est défavorable au joueur si E(X)\lt 0.
On a la loi de probabilité de X suivante :
Ici, d'après la loi de probabilité, on a :
- P(X=-2)=\dfrac{5}{8}
- P(X=1)=\dfrac{2}{8}
- P(X=3)=\dfrac{1}{8}
Pour vérifier si le jeu est équitable, il faut étudier le signe de l'espérance.
Ainsi, on calcule :
E(X)=P(X=-2)\times (-2)+P(X=1)\times 1+P(X=3)\times 3
E(X)=-P(X=-2)\times 2+P(X=1)\times 1+P(X=3)\times 3
E(X)=-\dfrac{5}{8}\times 2+\dfrac{2}{8}\times 1+\dfrac{1}{8}\times 3
E(X)=\dfrac{-10}{8}+\dfrac{2}{8}+\dfrac{3}{8}
E(X)=\dfrac{-10+5}{8}
E(X)=\dfrac{-5}{8}
Donc, on a :
E(X)\lt 0
Le jeu est donc défavorable au joueur.
Dans une fête foraine on étudie une roue circulaire partagée en 10 secteurs de même mesure et constituée de :
- 1 secteur rouge (R) ;
- 4 secteurs verts (V) ;
- 5 secteurs bleus (B).
Pour participer à ce jeu, chaque joueur doit payer 10 € et faire tourner la roue sur son axe central suffisamment fort pour qu'on puisse considérer que la roue a la même probabilité de s'arrêter sur chaque secteur. Selon la couleur du secteur sur laquelle la roue s'arrête, le joueur gagne :
- 0 € si c'est le bleu ;
- 10 € si c'est le vert ;
- 100 € si c'est le rouge.
On appelle X la variable aléatoire qui à chaque couleur associe le gain final correspondant.
Soit \Omega l'univers d'une expérience aléatoire, ayant un nombre fini d'issues. Soit X une variable aléatoire sur \Omega prenant les valeurs x_1 ; x_2 ; x_3.
On appelle espérance de la variable X le nombre réel, noté E(X), défini par :
E(X)=P(X=x_1)\times x_1+P(X=x_2)\times x_2+P(X=x_3)\times x_3
Si X est la variable aléatoire qui donne le gain (algébrique) du joueur, alors on dit que :
- le jeu est équitable si E(X)=0 ;
- le jeu est favorable au joueur si E(X)\gt 0 ;
- le jeu est défavorable au joueur si E(X)\lt 0.
On a la loi de probabilité de X suivante :
Ici, d'après la loi de probabilité, on a :
- P(X=-10)=\dfrac{5}{10}
- P(X=0)=\dfrac{4}{10}
- P(X=90)=\dfrac{1}{10}
Pour vérifier si le jeu est équitable, il faut étudier le signe de l'espérance.
Ainsi, on calcule :
E(X)=P(X=-10)\times (-10)+P(X=0)\times 0+P(X=90)\times 90
E(X)=-P(X=-10)\times 10+P(X=90)\times 90
E(X)=-\dfrac{5}{10}\times 10+\dfrac{1}{10}\times 90
E(X)=\dfrac{-50}{10}+ 9
E(X)=4
Donc, on a :
E(X)\gt 0
Le jeu est donc favorable au joueur.
Dans une fête foraine, on étudie une roue circulaire partagée en 10 secteurs de même mesure et constituée de :
- 2 secteurs rouges (R) ;
- 4 secteurs verts (V) ;
- 4 secteurs bleus (B).
Pour participer à ce jeu, chaque joueur doit payer 3 € et faire tourner la roue sur son axe central suffisamment fort pour qu'on puisse considérer que la roue a la même probabilité de s'arrêter sur chaque secteur. Selon la couleur du secteur sur laquelle la roue s'arrête, le joueur gagne :
- 0 € si c'est le bleu ;
- 3 € si c'est le vert ;
- 10 € si c'est le rouge.
On appelle X la variable aléatoire qui à chaque couleur associe le gain final correspondant.
Soit \Omega l'univers d'une expérience aléatoire ayant un nombre fini d'issues. Soit X une variable aléatoire sur \Omega prenant les valeurs x_1 ; x_2 ; x_3.
On appelle espérance de la variable X le nombre réel, noté E(X), défini par :
E(X)=P(X=x_1)\times x_1+P(X=x_2)\times x_2+P(X=x_3)\times x_3
Si X est la variable aléatoire qui donne le gain (algébrique) du joueur, alors on dit que :
- le jeu est équitable si E(X)=0 ;
- le jeu est favorable au joueur si E(X)\gt 0 ;
- le jeu est défavorable au joueur si E(X)\lt 0.
On a la loi de probabilité de X suivante :
Ici, d'après la loi de probabilité, on a :
- P(X=-3)=\dfrac{4}{10}
- P(X=0)=\dfrac{4}{10}
- P(X=7)=\dfrac{2}{10}
Pour vérifier si le jeu est équitable, il faut étudier le signe de l'espérance.
Ainsi, on calcule :
E(X)=P(X=-3)\times (-3)+P(X=0)\times 0+P(X=7)\times 7
E(X)=-P(X=-3)\times 3+P(X=7)\times 7
E(X)=-\dfrac{4}{10}\times 3+\dfrac{2}{10}\times 7
E(X)=\dfrac{-12}{10}+\dfrac{14}{10}
E(X)=\dfrac{-12+14}{10}
E(X)=\dfrac{2}{10}
Donc, on a :
E(X)\gt 0
Le jeu est donc favorable au joueur.
Dans une fête foraine on étudie une roue circulaire partagée en 8 secteurs de même mesure et constituée de :
- 3 secteurs rouges (R) ;
- 2 secteurs verts (V) ;
- 3 secteurs bleus (B).
Pour participer à ce jeu, chaque joueur doit payer 4 € et faire tourner la roue sur son axe central suffisamment fort pour qu'on puisse considérer que la roue a la même probabilité de s'arrêter sur chaque secteur. Selon la couleur du secteur sur laquelle la roue s'arrête, le joueur gagne :
- 0 € si c'est le bleu ;
- 5 € si c'est le vert ;
- 10 € si c'est le rouge.
On appelle X la variable aléatoire qui à chaque couleur associe le gain final correspondant.
Soit \Omega l'univers d'une expérience aléatoire, ayant un nombre fini d'issues. Soit X une variable aléatoire sur \Omega prenant les valeurs x_1 ; x_2 ; x_3.
On appelle espérance de la variable X le nombre réel, noté E(X), défini par :
E(X)=P(X=x_1)\times x_1+P(X=x_2)\times x_2+P(X=x_3)\times x_3
Si X est la variable aléatoire qui donne le gain (algébrique) du joueur, alors on dit que :
- le jeu est équitable si E(X)=0 ;
- le jeu est favorable au joueur si E(X)\gt 0 ;
- le jeu est défavorable au joueur si E(X)\lt 0.
On a la loi de probabilité de X suivante :
Ici, d'après la loi de probabilité, on a :
- P(X=-4)=\dfrac{3}{8}
- P(X=1)=\dfrac{1}{4}
- P(X=6)=\dfrac{3}{8}
Pour vérifier si le jeu est équitable, il faut étudier le signe de l'espérance.
Ainsi, on calcule :
E(X)=P(X=-4)\times (-4)+P(X=1)\times 1+P(X=6)\times 6
E(X)=-P(X=-4)\times 4+P(X=1)\times 1+P(X=6)\times 6
E(X)=-\dfrac{3}{8}\times 4+\dfrac{2}{8}\times 1+\dfrac{3}{8}\times 6
E(X)=\dfrac{-12}{8}+\dfrac{2}{8}+\dfrac{18}{8}
E(X)=\dfrac{-12+20}{8}
E(X)=\dfrac{8}{8}=1
Donc, on a :
E(X)\gt 0
Le jeu est donc favorable au joueur.
Dans une fête foraine, on étudie une roue circulaire partagée en 8 secteurs de même mesure et constituée de :
- 2 secteurs rouges (R) ;
- 2 secteurs verts (V) ;
- 4 secteurs bleus (B).
Pour participer à ce jeu, chaque joueur doit payer 2 € et faire tourner la roue sur son axe central suffisamment fort pour qu'on puisse considérer que la roue a la même probabilité de s'arrêter sur chaque secteur. Selon la couleur du secteur sur laquelle la roue s'arrête, le joueur gagne :
- 0 € si c'est le bleu ;
- 3 € si c'est le vert ;
- 5 € si c'est le rouge.
On appelle X la variable aléatoire qui à chaque couleur associe le gain final correspondant.
Soit \Omega l'univers d'une expérience aléatoire, ayant un nombre fini d'issues. Soit X une variable aléatoire sur \Omega prenant les valeurs x_1 ; x_2 ; x_3.
On appelle espérance de la variable X le nombre réel, noté E(X), défini par :
E(X)=P(X=x_1)\times x_1+P(X=x_2)\times x_2+P(X=x_3)\times x_3
Si X est la variable aléatoire qui donne le gain (algébrique) du joueur, alors on dit que :
- le jeu est équitable si E(X)=0 ;
- le jeu est favorable au joueur si E(X)\gt 0 ;
- le jeu est défavorable au joueur si E(X)\lt 0.
On a la loi de probabilité de X suivante :
Ici, d'après la loi de probabilité, on a :
- P(X=-1)=\dfrac{4}{8}
- P(X=1)=\dfrac{2}{8}
- P(X=3)=\dfrac{2}{8}
Pour vérifier si le jeu est équitable, il faut étudier le signe de l'espérance.
Ainsi, on calcule :
E(X)=P(X=-2)\times (-2)+P(X=1)\times 1+P(X=3)\times 3
E(X)=-P(X=-2)\times 2+P(X=1)\times 1+P(X=3)\times 3
E(X)=-\dfrac{4}{8}\times 2+\dfrac{2}{8}\times 1+\dfrac{3}{8}\times 2
E(X)=\dfrac{-8}{8}+\dfrac{2}{8}+\dfrac{6}{8}
E(X)=\dfrac{-12+8}{8}
E(X)=0
Donc, on a :
E(X) = 0
Le jeu est donc équitable.