Soit X une variable aléatoire dont l'univers est \Omega = \{1,t\}\} avec t \gt 1.
La variable aléatoire suit la loi de probabilité suivante :
| x_i | 1 | t |
| P(X=x_i) | \frac{3}{5} | \frac{2}{5} |
Quelle est la valeur de t qui permet d'obtenir un écart type \sigma(X) = \dfrac{1}{5} ?
On cherche t de telle sorte que :
\sigma(X) = \dfrac{1}{5}
Or :
\sigma(X) = \sqrt{V(X)}
Donc :
\sigma(X) = \dfrac{1}{5} \Leftrightarrow V(X) = \dfrac{1}{25}
Pour calculer la variance V(X), il faut calculer l'espérance de X :
E(X) = \dfrac{3\times1}{5}+\dfrac{2t}{5}= \dfrac{3+2t}{5}
Donc :
V(X) = \dfrac{3\times1^2}{5}+\dfrac{2t^2}{5} - \left(\dfrac{3+2t}{5} \right)^2
V(X) = \dfrac{15 + 10t^2 - (9+12t+4t^2)}{25}
V(X) = \dfrac{6t^2-12t+6}{25}
On a donc :
\sigma(X) = \dfrac{1}{5} \Leftrightarrow \dfrac{6t^2-12t+6}{25} = \dfrac{1}{25}
\sigma(X) = \dfrac{1}{5} \Leftrightarrow 6t^2-12t+6 = 1
\sigma(X) = \dfrac{1}{5} \Leftrightarrow 6t^2-12t+5 = 0
Pour résoudre 6t^2-12t+5 = 0, on peut calculer le discriminant :
\Delta = (-12)^2-4\times 6 \times 5 = 144-120 = 24
Le discriminant est positif, donc l'équation 6t^2-12t+5 = 0 admet deux solutions :
t_1 = \dfrac{12-\sqrt{24}}{2\times6}= \dfrac{12-2\sqrt{6}}{12}=1-\dfrac{\sqrt{6}}{6}= 1- \dfrac{1}{\sqrt{6}}
t_2 = \dfrac{12+\sqrt{24}}{2\times6}= \dfrac{12+2\sqrt{6}}{12}=1+\dfrac{\sqrt{6}}{6}= 1+\dfrac{1}{\sqrt{6}}
Finalement :
\sigma(X) = \dfrac{1}{5} \Leftrightarrow t=t_1=1- \dfrac{1}{\sqrt{6}} \space ou \space t=t_2=1+ \dfrac{1}{\sqrt{6}}
D'après l'énoncé, t est supérieur à 1.
Donc t_1 ne convient pas.
Ainsi t = t_2 = 1+\dfrac{1}{\sqrt{6}} .
Donc t = 1+\dfrac{1}{\sqrt{6}}.
Soit X une variable aléatoire dont l'univers est \Omega = \{10,t\}\} avec t \gt 10.
La variable aléatoire suit la loi de probabilité suivante :
| x_i | 10 | t |
| P(X=x_i) | \frac{2}{3} | \frac{1}{3} |
Quelle est la valeur de t qui permet d'obtenir un écart type \sigma(X) = 30 ?
On cherche t de telle sorte que :
\sigma(X) = 30
Or :
\sigma(X) = \sqrt{V(X)}
Donc :
\sigma(X) = 30 \Leftrightarrow V(X) = 900
Pour calculer la variance V(X), il faut calculer l'espérance de X :
E(X) = \dfrac{10\times2}{3}+\dfrac{t}{3}= \dfrac{20+t}{3}
Donc :
V(X) = \dfrac{2\times10^2}{3}+\dfrac{t^2}{3} - \left(\dfrac{20+t}{3} \right)^2
V(X) = \dfrac{200-40t+2t^2}{9}
On a donc :
\sigma(X) = 30 \Leftrightarrow \dfrac{200-40t+2t^2}{9} =900
\sigma(X) = 30 \Leftrightarrow 200-40t+2t^2 = \text{8 100}
\sigma(X) = 30 \Leftrightarrow 2t^2-40t-\text{7 900} = 0
Pour résoudre 2t^2-40t-\text{7 900} = 0, on peut calculer le discriminant :
\Delta = (-40)^2+4\times 2 \times \text{7 900} = \text{1 600}+\text{63 200} = \text{64 800}
Le discriminant est positif, donc l'équation 2t^2-40t-\text{7 900} = 0 admet deux solutions :
t_1 = \dfrac{40-\sqrt{\text{64 800}}}{2\times2}= \dfrac{40-180\sqrt{2}}{4}=10-45\sqrt{2}
t_2 = \dfrac{40+\sqrt{\text{64 800}}}{2\times2}= \dfrac{40+180\sqrt{2}}{4}=10+45\sqrt{2}
Finalement :
\sigma(X) = \dfrac{1}{5} \Leftrightarrow t=t_1=10-45\sqrt{2} \space \text{ou} \space t=t_2=10+45\sqrt{2}
D'après l'énoncé, t est supérieur à 10.
Donc t_1 ne convient pas.
Ainsi, t = t_2 = 10+45\sqrt{2} .
Donc t = 10+45\sqrt{2} .
Soit X une variable aléatoire dont l'univers est \Omega = \{-2,t\}\} avec t \gt -2.
La variable aléatoire suit la loi de probabilité suivante :
| x_i | -2 | t |
| P(X=x_i) | \frac{2}{7} | \frac{5}{7} |
Quelle est la valeur de t qui permet d'obtenir un écart type \sigma(X) = 2 ?
On cherche t de telle sorte que :
\sigma(X) = 2
Or :
\sigma(X) = \sqrt{V(X)}
Donc :
\sigma(X) = 2 \Leftrightarrow V(X) = 4
Pour calculer la variance V(X), il faut calculer l'espérance de X :
E(X) = \dfrac{-2\times2}{7}+\dfrac{5t}{7}= \dfrac{5t-4}{7}
Donc :
V(X) = \dfrac{2\times(-2)^2}{7}+\dfrac{5t^2}{7} - \left(\dfrac{5t-4}{7} \right)^2
V(X) = \dfrac{8+5t^2}{7} - \left(\dfrac{25t^2-40t+16}{49} \right)
V(X) = \dfrac{56+35t^2-25t^2+40t-16}{49}
V(X) = \dfrac{10t^2+40t+40}{49}
On a donc :
\sigma(X) = 2 \Leftrightarrow \dfrac{10t^2+40t+40}{49} =4
\sigma(X) = 2 \Leftrightarrow 10t^2+40t+40 = 196
\sigma(X) = 2 \Leftrightarrow 10t^2+40t-156 = 0
Pour résoudre 10t^2+40t-156 = 0, on peut calculer le discriminant :
\Delta = 40^2+4\times 10 \times 156 = \text{1 600}+\text{6 240} = \text{7 840}
Le discriminant est positif, donc l'équation 10t^2+40t-156 = 0 admet deux solutions :
t_1 = \dfrac{-40-\sqrt{\text{7 840}}}{2\times10}= -2-\dfrac{28\sqrt{10}}{20}=-2-\dfrac{7\sqrt{10}}{5}
t_2 = \dfrac{-40+\sqrt{\text{7 840}}}{2\times10}= -2+\dfrac{28\sqrt{10}}{20}=-2+\dfrac{7\sqrt{10}}{5}
Finalement :
\sigma(X) = 2 \Leftrightarrow t=t_1=-2-\dfrac{7\sqrt{10}}{5} \space \text{ou} \space t=t_2=-2+\dfrac{7\sqrt{10}}{5}
D'après l'énoncé, t est supérieur à -2.
Donc t_1 ne convient pas.
Ainsi, t = t_2 =-2+\dfrac{7\sqrt{10}}{5} .
Donc t = -2+\dfrac{7\sqrt{10}}{5}.
Soit X une variable aléatoire dont l'univers est \Omega = \{5,t\}\} avec t \lt 5.
La variable aléatoire suit la loi de probabilité suivante :
| x_i | 5 | t |
| P(X=x_i) | \frac{3}{7} | \frac{4}{7} |
Quelle est la valeur de t qui permet d'obtenir un écart type \sigma(X) = 5 ?
On cherche t de telle sorte que :
\sigma(X) = 5
Or :
\sigma(X) = \sqrt{V(X)}
Donc :
\sigma(X) = 5 \Leftrightarrow V(X) = 25
Pour calculer la variance V(X), il faut calculer l'espérance de X :
E(X) = \dfrac{5\times3}{7}+\dfrac{4t}{7}= \dfrac{15+4t}{7}
Donc :
V(X) = \dfrac{3\times5^2}{7}+\dfrac{4t^2}{7} - \left(\dfrac{15+4t}{7} \right)^2
V(X) = \dfrac{75+4t^2}{7} - \left(\dfrac{225+120t+16t^2}{49} \right)
V(X) = \dfrac{525+28t^2-16t^2-120t-225}{49}
V(X) = \dfrac{12t^2-120t+300}{49}
On a donc :
\sigma(X) = 5 \Leftrightarrow \dfrac{12t^2-120t+300}{49} =25
\sigma(X) = 5 \Leftrightarrow 12t^2-120t+300 = \text{1 225}
\sigma(X) = 5 \Leftrightarrow 12t^2-120t-925 = 0
Pour résoudre 12t^2-120t-925 = 0, on peut calculer le discriminant :
\Delta = (-120)^2+4\times 12 \times 925 = \text{14 400}+\text{44 400} = \text{58 800}
Le discriminant est positif, donc l'équation 12t^2-120t-925 = 0 admet deux solutions :
t_1 = \dfrac{120-\sqrt{\text{58 800}}}{2\times12}= 5-\dfrac{140\sqrt{3}}{24}=5-\dfrac{35\sqrt{3}}{6}
t_3 = \dfrac{120+\sqrt{\text{58 800}}}{2\times12}= 5+\dfrac{140\sqrt{3}}{24}=5+\dfrac{35\sqrt{3}}{6}
Finalement :
\sigma(X) = 2 \Leftrightarrow t=t_1=5-\dfrac{35\sqrt{3}}{6} \space ou \space t=t_2=5+\dfrac{35\sqrt{3}}{6}
D'après l'énoncé, t est inférieur à 5.
Donc t_2 ne convient pas.
Ainsi, t = t_1 =5-\dfrac{35\sqrt{3}}{6} .
Donc t = 5-\dfrac{35\sqrt{3}}{6}.
Soit X une variable aléatoire dont l'univers est \Omega = \{-4,t\}\} avec t \lt -4.
La variable aléatoire suit la loi de probabilité suivante :
| x_i | -4 | t |
| P(X=x_i) | \frac{7}{9} | \frac{2}{9} |
Quelle est la valeur de t qui permet d'obtenir un écart type \sigma(X) = 4 ?
On cherche t de telle sorte que :
\sigma(X) = 4
Or :
\sigma(X) = \sqrt{V(X)}
Donc :
\sigma(X) = 4 \Leftrightarrow V(X) = 16
Pour calculer la variance V(X), il faut calculer l'espérance de X :
E(X) = \dfrac{-4\times7}{9}+\dfrac{2t}{9}= \dfrac{-28+2t}{9}
Donc :
V(X) = \dfrac{7\times(-4)^2}{9}+\dfrac{2t^2}{9} - \left(\dfrac{2t-28}{9} \right)^2
V(X) = \dfrac{112+2t^2}{9} - \left(\dfrac{4t^2-112t+784}{81} \right)
V(X) = \dfrac{\text{1 008}+18t^2-4t^2+112t-784}{81}
V(X) = \dfrac{14t^2+112t+224}{81}
On a donc :
\sigma(X) = 4 \Leftrightarrow \dfrac{14t^2+112t+224}{81} =16
\sigma(X) = 4 \Leftrightarrow 14t^2+112t+224 = \text{1 296}
\sigma(X) = 4 \Leftrightarrow 14t^2+112t-\text{1 072} = 0
Pour résoudre 14t^2+112t-\text{1 072} = 0, on peut calculer le discriminant :
\Delta = 112^2+4\times 14 \times \text{1 072} = \text{12 544}+\text{60 032} = \text{72 576}
Le discriminant est positif, donc l'équation 14t^2+112t-\text{1 072} = 0 admet deux solutions :
t_1 = \dfrac{-112-\sqrt{\text{72 576}}}{2\times14}= -4-\dfrac{72\sqrt{14}}{28}=-4-\dfrac{18\sqrt{14}}{7}
t_2 = \dfrac{-112+\sqrt{\text{72 576}}}{2\times14}= -4+\dfrac{72\sqrt{14}}{28}=-4+\dfrac{18\sqrt{14}}{7}
Finalement :
\sigma(X) = 2 \Leftrightarrow t=t_1=-4-\dfrac{18\sqrt{14}}{7} \space ou \space t=t_2=-4+\dfrac{18\sqrt{14}}{7}
D'après l'énoncé, t est inférieur à -4.
Donc t_2 ne convient pas.
Ainsi, t = t_1 =-4-\dfrac{18\sqrt{14}}{7} .
Donc t = -4-\dfrac{18\sqrt{14}}{7} .