Soit X un variable aléatoire réel.
On étudie la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = E((X-x)^2)
Quelle est la forme développée de f ?
On a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = E((X-x)^2)
On peut développer le terme (X-x)^2 :
(X-x)^2 = X^2-2xX+x^2
Donc :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = E(X^2-2xX+x^2)
Par linéarité de l'espérance, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = E(X^2)-2xE(X)+x^2E(1)
On a E(1) = 1 car l'espérance de la variable aléatoire 1 vaut 1.
En effet, E(1) = P(1=1)\times 1 = 1.
Ainsi, \forall x \in \mathbb{R}, f(x) = E(X^2)-2xE(X)+x^2.
Quelle est la dérivée de f ?
On a montré que :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = E(X^2)-2xE(X)+x^2
Donc f est bien dérivable sur \mathbb{R} et :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) =2x - 2E(X)
car E(X) et E(X^2) sont des constantes.
Ainsi, \forall x \in \mathbb{R}, f'(x) =2x - 2E(X) .
Quelles sont les variations de f ?
On a montré que :
\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) =2x - 2E(X)
On cherche à résoudre l'inéquation :
f'(x) \geqslant 0
f'(x) \geqslant 0 \Leftrightarrow 2x - 2E(X) \geqslant 0
f'(x) \geqslant 0 \Leftrightarrow 2x \geqslant 2E(X)
f'(x) \geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant E(X)
Donc :
Quel est le minimum de la fonction f ?
On a dressé le tableau de variations de f :
| x | -\infty | E(X) | +\infty | ||
| f'(x) | - | 0 | + | ||
| f | décroissant | croissant |
f étant décroissante avant E(X) et croissante après, f atteint son minimum pour x = E(X) et :
f(E(X)) = E((X-E(X))^2)
ou avec la forme développée de la question 1 :
f(E(X)) = E(X^2) -2E(X)E(X) +[E(X)]^2
f(E(X)) = E(X^2) - [E(X)]^2
Or, V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 .
Donc :
f(E(X)) = V(X)
Le minimum de la fonction f est V(X).